「解题报告」石子游戏

题目大意

Alice 和 Bob 在 $n$ 堆石子中取石子，这 $n$ 堆石子的数量分别是 $a_{i}$ ， Alice 先取，每人只能取 $1 \sim x$ 个，假如双方都使用最优策略，求当 $x$ 为 $1 \sim n$ 中的每个数字时谁必胜。
$1 < N < 5 \times 10^{5}$

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Bob Alice Bob Alice

题解

本题需要分两部分来解答。

首先，当 $x$ 固定时，如何求得谁必胜？

我们可以想办法来构造一个 Nim 游戏，这样就可以知道谁必胜。

Nim 游戏的要求是每人可以取任意数量的石子，而本题是固定数量，所以需要进行一定的调整。

我们可以将每一堆分为若干个 $x + 1$ 和若干个小于等于 $x$ 的数，这样小于等于 $x$ 的数都是可以任意取的。对于每一堆 $x + 1$ 个石子， Alice 取任意数量， Bob 都可以将其取完，且一定会取完。

举个例子，有两堆 $3$ 和 $5$ , $x = 1$ 。我们可以分为 $2, 1, 2, 2, 1$ 几堆。 Alice 此时必输，因为 $1 \oplus 1 = 0$ ，当 Alice 选第一堆 $1$ 个， Bob 也可以直接取 $1$ 个将其取完。所以最后一定落到 Alice 先手， Alice 必输。

那么我们就将问题转换为了，对于 $x \in [1, n]$ ，求每个 $⨁_{i = 1}^{n} a_{i} mod x + 1$ 。

我们可以对每一位进行运算，再统计每一位是 $1$ 的数量，就能知道异或和是否为 $0$ 。

设 $c_{i}$ 为 $i$ 出现的次数， $y = x + 1$ ， $k \leq ⌈ \frac{n}{y} ⌉$ ，对于 $m \in [k y, (k + 1) y)$ ， $m mod y = m - k y$ 。这样的 $k$ 的数量是一个调和级数，复杂度是 $O (n \log n)$ 的。一共有 $O (\log n)$ 位，所以复杂度为 $O (n \log^{2} n)$ 。

现在的问题是如何在 $O (1)$ 的时间内求出 $\sum_{m \in [k y, (k + 1) y) 且m-ky第j位为1} c_{i}$ 。

考虑第 $j$ 位为 $1$ 数字的分布。

不难发现，对于第 $j$ 位（从 $0$ 开始），一定有连续的长度为 $2^{j}$ 个数字第 $j$ 位为0，然后 $2^{j}$ 个数字第 $j$ 位为 $1$ 。

所以我们可以定义以下数组：

$f_{i, j}$ 表示对于 $m \geq i$ ， $m - i$ 第 $j$ 位为 $1$ 的 $c_{i}$ 的和。

注意这个定义很关键，一定要仔细体会。

我们可以得出以下式子：

f_{i, j} = f (i + 2^{j + 1}, j) + \sum_{i = i + 2^{j}}^{i + 2^{j + 1} - 1} c_{i}

这个式子什么意思呢？
我们可以画个图：

| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
|2^(j+1)|   |   |   |   | ···
|2^j|2^j|   |   |   |   |
↑       ↑
f(i, j) f(i + 2^(j+1), j)

也就是将当前 $01$ 段所有 $1$ 的部分加起来，再加上下一个 $01$ 段的 $1$ 的和。

那么我们如何计算 $m \in [k y, (k + 1) y)$ 的所有和呢？

我们接着画个图：

ky                                 (k+1)y
↓                                   ↓
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |     | 0 |1|1| 0 |
|2^(j+1)|   |   |   |   | ··· |   | | |   |
|2^j|2^j|   |   |   |   |     |   | | |   |
↑       ↑                     ↑    ↑
f(ky, j) f(ky + 2^(j+1), j)   ①   ②

先看这种情况：我们只需要将 $f (k y, j)$ 减去 ①往右的部分，再加上多减去的 ② 的部分就好了。

每一段 $01$ 段的长度为 $2^{j + 1}$ ，所以最后多出的一段长度为 $y mod 2^{j + 1}$ ，假如它大于 $2^{j}$ ，那么就说明落在 $1$ 上，加上多出的一段的 $c_{i}$ 和就可以，使用前缀和计算很容易能 $O (1)$ 得出。如果没有在 $0$ 上就不用再加东西了。

注意边界可能会有一些加 1 减 1，自己推一下就可以了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2000005;
int n, a, c[MAXN], w[MAXN];
int f[MAXN][20];
int main() {
    #ifdef DEBUG
    freopen("T1.in", "r", stdin);
    freopen("T1.out", "w", stdout);
    #else
    freopen("stone.in", "r", stdin);
    freopen("stone.out", "w", stdout);
    #endif
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &c[i]), w[c[i]]++;
    for (int i = 1; i <= n; i++) c[i] = c[i - 1] + w[i];
    for (int i = n + 1; i <= 3 * n; i++) c[i] = c[n];
    for (int i = n; i >= 0; i--) {
        for (int j = 0; (1 << j) <= n; j++) {
            f[i][j] = f[i + (1 << (j + 1))][j] + c[i + (1 << (j + 1)) - 1] - c[i + (1 << j) - 1];
        }
    }
    for (int x = 1; x <= n; x++) {
        int y = x + 1;
        for (int j = 0; (1 << j) <= n; j++) {
            int cnt = 0;
            for (int k = 0; k <= ceil(n / (double) y); k++) {
                int q = f[k*y][j] - f[(k+1)*y-(y%(1<<(j+1)))][j] + ((y%(1<<(j+1)) >(1<<j)) ? (c[(k+1)*y - 1] - c[(k+1)*y-y%(1<<(j+1))+(1<<j)-1]) : 0);
                cnt += q;
                //printf("[%d,%d):%d\n", k*y, (k+1)*y, q);
            }
            //printf("digit %d: %d\n", j, cnt);
            if (cnt % 2 != 0) {
                printf("Alice ");
                goto next;
            }
        }
        printf("Bob ");
    next:
        continue;
    }
    return 0;
}