「解题报告」CF755G PolandBall and Many Other Balls

互测搬的题。教练整的 PDF LaTeX 全炸了，我在这里再发一遍。（虽然也不会有人看）

题目来源：CF755G

$5pts$ 做法

我会爆搜！

直接 DFS 枚举选择方案。

$20pts$ 做法

我会 DP！

设 $f_{i.j}$ 表示考虑前 $i$ 个球，已经选出了 $j$ 组的方案数，那么不难得出转移式：

$$f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}+f_{i-2,j-1}$$

于是复杂度 $O(nk)$。

$k=1$

选组大小为 $1$ 的方案数为 $n$，大小为 $2$ 的方案数为 $n-1$，所以答案等于 $2n-1$。

$k=2$

分三种情况考虑：

1. 两组大小都为 $1$：$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$
2. 一组为 $1$，另一组为 $2$：考虑先从 $n-1$ 的序列中选两个数，然后在第二个数后面加一个数，左右翻转也一样，那么答案就是 $2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2})$。
3. 两组都为 $2$：考虑从 $n-2$ 的序列中选两个数，然后在左面的数的左侧、右面的数的右侧加一个数，那么答案就是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{2})$。

$O(n{\log }^{2}n)$ 做法

其实做到 DP 这一步你就应该想到一些什么吧）

假如我们把 $f_{i,j}$ 看作一个关于 $j$ 的生成函数 $F_i$，那么就可以把 DP 写成以下的形式：

$$F_i=F_{i-1}+x{F}_{i-1}+x{F}_{i-2}$$

也就是：

$$F_i=(1+x)F_{i-1}+x{F}_{i-2}$$

这东西其实就是一个生成函数的递推式，于是我们有一个非常弱智的做法：直接矩阵快速幂。这样复杂度就是 $O(n{\log }^{2}n)$ 的，足以通过此题。

还有一个做法是倍增 FFT，对一开始的 DP 式子进行一些更改可以推出 $G_{2n},G_{2n+1},G_n$ 的关系，不过我太菜了确实看不出怎么更改成这样的形式，所以想看的自己看题解吧。

$O(n\log n)$ 做法

其实写出来上面的做法就够了，这个做法比较无脑：

考虑我们得到了 $F_i=(1+x)F_{i-1}+x{F}_{i-2}$ 这样的一个递推式，我们直接解这个递推式。

它的特征方程为 ${\lambda }^2=(1+x)\lambda +x$，解得 ${\lambda }_1=\frac{1+x+\sqrt{x^2+6x+1}}{2},{\lambda }_2=\frac{1+x-\sqrt{x^2+6x+1}}{2}$。

那么 $F_n=A\times {\lambda }_1^n+B\times {\lambda }_2^n$。

$$\{\begin{array}{l}{F}_0=A+B=1\\ F_1=A{\lambda }_1+B{\lambda }_2=1+x\end{array}$$

解得：

$$\{\begin{array}{l}A=\frac{{\lambda }_1}{\sqrt{x^2+6x+1}}\\ B=\frac{-{\lambda }_2}{\sqrt{x^2+6x+1}}\end{array}$$

于是：

$$F_n=\frac{{\lambda }_1^{n+1}-{\lambda }_2^{n+1}}{\sqrt{x^2+6x+1}}$$

由于 ${\lambda }_2$ 是不存在常数项的（$\sqrt{x^2+6x+1}$ 的常数项肯定是 $1$），所以 ${\lambda }_2^{n+1}$ 的最低次项也是 $n+1$ 次的，而大于 $n$ 答案肯定是 $0$，所以这一项我们就直接不计算了，也就是我们直接计算：

$$\frac{1}{\sqrt{x^2+6x+1}}{\left(\frac{1+x+\sqrt{x^2+6x+1}}{2}\right)}^n(\mathrm{mod}{x}^{n+1})$$

然后就可以直接上多项式全家桶就可以做到 $O(n\log n)$ 了。