【学习笔记】二分答案
我居然连二分答案都不会了。
决定思考一下啥时候能用二分答案。
- 最大值最小/最小值最大类问题
最常见的形式。
- 值域转换为 \(0/1\) 类问题
问题只与数的相对大小有关，可以把问题值域转化到 \(0/1\) 上可能会有更优的复杂度。
具体的，设答案为 \(x\)，那么把所有 \(\le x\) 的数变为 \(0\)，所有 \(>x\) 的数变为 \(1\)，最后算得答案为 \(0\) 说明答案小于等于 \(x\)，否则答案大于 \(x\)。
- 博弈类问题
一次国赛模拟赛考的。
Alice 想要让值尽可能大，Bob 想让值尽可能小，可以任意时间结束游戏。
二分一个最终答案 \(x\)，那么把所有最终状态权值 \(\le x\) 的状态看作白色，所有最终状态权值 \(> x\) 的状态看作黑色。
那么问题就是检验每次 Alice 从白点走到黑点，Bob 从黑点走到白点，此时谁会胜的问题。
如果最后走到了白色的格子上，说明双方存在一种方案使得最终答案 \(\le x\)，否则存在一种方案使得最终答案 \(> x\)，于是就可以二分了。
- 函数变化量类
列出 DP 发现是有后效性的，但是所有的值只跟一个状态有关，并且式子里有 \(\min\)，没法直接用线性方程组等方式求出答案。
假设这个状态为 \(f_u\)。考虑二分答案，二分这个状态的值 \(f_u=A\)。然后用 \(A\) 计算出 \(f_u\) 的值为多少，如果 \(f_u > A\)，那么 \(A\) 可以更大，否则 \(A\) 可以更小。
这东西有单调性的原因是，首先你设 \(f_u=g(A)\) 为关于 \(A\) 的函数，然后可以证明它的导数 \(g'(A) \le 1\)（观察 DP 式子可以得出），故 \([g(A)-A]' \le 0\)，也就是差是具有单调性的，而我们要求的答案其实就是 \(g(A)=A\) 的解，所以可以二分。
根据上一届学长，这题还可以直接维护 \(g(A)\) 这个函数，然后通过 \(g'(A)\) 的值可以进行二分，但是这个证明我不会，求大佬教教。
一节课时间就想到了这么几个，欢迎补充。
