【学习笔记】鞅与停时定理小记

随便记一下，没有任何严谨性，只是想记一下大致思路。

鞅的定义

对于一个随机过程 \(X_n\)，满足 \(E(X_{n+1}\mid X_0,X_1,\cdots,X_n) = X_n\)，这样的随机过程叫做鞅。

鞅的停时定理

对于一个停止时间 \(T\)，有 \(E(X_T)=E(X_0)\)

势能构造法

构造一个势能函数 \(\Phi(A_n)\)，使得 \(E(\Phi(A_{n+1})-\Phi(A_n)) = -1\)，那么我们可以知道，\(E(\Phi(A_n))=E(\Phi(A_0))-n\)。

于是我们令 \(X_n=\Phi(A_n) + n\)，那么 \(E(X_n)=E(\Phi(A_n) + n)=E(\Phi(A_0))=\Phi(A_0)\)，所以不难发现 \(X_n\) 是一个鞅。

于是根据鞅的停时定理，可以得到 \(E(X_T)=E(X_0)\)，即 \(E(\Phi(A_T)+T)=\Phi(A_0)\)，所以 \(E(T)=\Phi(A_0)-\Phi(A_T)\)。