数据结构思维 第十二章 `TreeMap`

第十二章 TreeMap

原文：Chapter 12 TreeMap

译者：飞龙

协议：CC BY-NC-SA 4.0

自豪地采用谷歌翻译

这一章展示了二叉搜索树，它是个Map接口的高效实现。如果我们想让元素有序，它非常实用。

12.1 哈希哪里不对？

此时，你应该熟悉 Java 提供的Map接口和HashMap实现。通过使用哈希表来制作你自己的Map，你应该了解HashMap的工作原理，以及为什么我们预计其核心方法是常数时间的。

由于这种表现，HashMap被广泛使用，但并不是唯一的Map实现。有几个原因可能需要另一个实现：

哈希可能很慢，所以即使HashMap操作是常数时间，“常数”可能很大。
如果哈希函数将键均匀分配给子映射，效果很好。但设计良好的散列函数并不容易，如果太多的键在相同的子映射上，那么HashMap的性能可能会很差。
哈希表中的键不以任何特定顺序存储；实际上，当表增长并且键被重新排列时，顺序可能会改变。对于某些应用程序，必须或至少保持键的顺序，这很有用。

很难同时解决所有这些问题，但是 Java 提供了一个称为TreeMap的实现：

• 它不使用哈希函数，所以它避免了哈希的开销和选择哈希函数的困难。
• 在TreeMap之中，键被存储在二叉搜索树中，这使我们可以以线性时间顺序遍历键。
• 核心方法的运行时间与log(n)成正比，并不像常数时间那样好，但仍然非常好。

在下一节中，我将解释二进制搜索树如何工作，然后你将使用它来实现Map。另外，使用树实现时，我们将分析映射的核心方法的性能。

12.2 二叉搜索树

二叉搜索树（BST）是一个树，其中每个node（节点）包含一个键，并且每个都具有“BST 属性”：

• 如果node有一个左子树，左子树中的所有键都必须小于node的键。
• 如果node有一个右子树，右子树中的所有键都必须大于node的键。

图 12.1：二叉搜索树示例

图 12.1 展示了一个具有此属性的整数的树。这个图片来自二叉搜索树的维基百科页面，位于 http://thinkdast.com/bst，当你做这个练习时，你会发现它很实用。

根节点中的键为8，你可以确认根节点左边的所有键小于8，右边的所有键都更大。你还可以检查其他节点是否具有此属性。

在二叉搜索树中查找一个键是很快的，因为我们不必搜索整个树。从根节点开始，我们可以使用以下算法：

• 将你要查找的键target，与当前节点的键进行比较。如果他们相等，你就完成了。
• 如果target小于当前键，搜索左子树。如果没有，target不在树上。
• 如果target大于当前键，搜索右子树。如果没有，target不在树上。

在树的每一层，你只需要搜索一个子树。例如，如果你在上图中查找target = 4，则从根节点开始，它包含键8。因为target小于8，你走了左边。因为target大于3，你走了右边。因为target小于6，你走了左边。然后你找到你要找的键。

在这个例子中，即使树包含九个键，它需要四次比较来找到目标。一般来说，比较的数量与树的高度成正比，而不是树中的键的数量。

因此，我们可以计算树的高度h和节点个数n的关系。从小的数值开始，逐渐增加：

如果h=1，树只包含一个节点，那么n=1。
如果h=2，我们可以添加两个节点，总共n=3。
如果h=3，我们可以添加多达四个节点，总共n=7。
如果h=4，我们可以添加多达八个节点，总共n=15。

现在你可能会看到这个规律。如果我们将树的层数从1数到n，第i层可以拥有多达2^(n-1)个节点。h层的树共有2^h-1个节点。如果我们有：

n = 2^h - 1

我们可以对两边取以2为底的对数：

log2(n) ≈ h

意思是树的高度正比于logn，如果它是满的。也就是说，如果每一层包含最大数量的节点。

所以我们预计，我们可以以正比于logn的时间，在二叉搜索树中查找节点。如果树是慢的，即使是部分满的，这是对的。但是并不总是对的，我们将会看到。

时间正比于logn的算法是对数时间的，并且属于O(logn)的增长级别。

12.3 练习 10

对于这个练习，你将要使用二叉搜索树编写Map接口的一个实现。

这里是实现的开头，叫做MyTreeMap：

public class MyTreeMap<K, V> implements Map<K, V> {

    private int size = 0;
    private Node root = null;

实例变量是size，它跟踪了键的数量，以及root，它是树中根节点的引用。树为空的时候，root是null，size是0。

这里是Node的定义，它在MyTreeMap之中定义。

    protected class Node {
        public K key;
        public V value;
        public Node left = null;
        public Node right = null;

        public Node(K key, V value) {
            this.key = key;
            this.value = value;
        }
    }

每个节点包含一个键值对，以及两个子节点的引用，left和right。任意子节点都可以为null。

一些Map方法易于实现，比如size和clear：

    public int size() {
        return size;
    }

    public void clear() {
        size = 0;
        root = null;
    }

size显然是常数时间的。

clear也是常数时间的，但是考虑这个：当root赋为null时，垃圾收集器回收了树中的节点，这是线性时间的。这个工作是否应该由垃圾收集器的计数来完成呢？我认为是的。

下一节中，你会填充一些其它方法，包括最重要的get和set。

12.4 实现TreeMap

这本书的仓库中，你将找到这些源文件：

• MyTreeMap.java包含上一节的代码，其中包含缺失方法的大纲。
• MyTreeMapTest.java包含单元MyTreeMap的测试。

运行ant build来编译源文件。然后运行ant MyTreeMapTest。几个测试应该失败，因为你有一些工作要做！

我已经提供了get和containsKey的大纲。他们都使用findNode，这是我定义的私有方法；它不是Map接口的一部分。以下是它的起始：

    private Node findNode(Object target) {
        if (target == null) {
            throw new IllegalArgumentException();
        }

        @SuppressWarnings("unchecked")
        Comparable<? super K> k = (Comparable<? super K>) target;

        // TODO: FILL THIS IN!
        return null;
    }

参数target是我们要查找的键。如果target是null，findNode抛出异常。一些Map实现可以将null处理为一个键，但是在二叉搜索树中，我们需要能够比较键，所以处理null是有问题的。为了保持简单，这个实现不将null视为键。

下一行显示如何将target与树中的键进行比较。按照get和containsKey的签名（名称和参数），编译器认为target是一个Object。但是，我们需要能够对键进行比较，所以我们将target强制转换为Comparable<? super K>，这意味着它可以与类型K（或任何超类）的示例比较。如果你不熟悉“类型通配符”的用法，可以在 http://thinkdast.com/gentut 上阅读更多内容。

幸运的是，Java 的类型系统的处理不是这个练习的重点。你的工作是填写剩下的findNode。如果它发现一个包含target键的节点，它应该返回该节点。否则应该返回null。当你使其工作，get和containsKey的测试应该通过。

请注意，你的解决方案应该只搜索通过树的一条路径，因此它应该与树的高度成正比。你不应该搜索整棵树！

你的下一个任务是填充containsValue。为了让你起步，我提供了一个辅助方法equals，比较target和给定的键。请注意，树中的值（与键相反）不一定是可比较的，所以我们不能使用compareTo；我们必须在target上调用equals。

不像你以前的findNode解决方案，你的containsValue解决方案应该搜索整个树，所以它的运行时间正比于键的数量n，而不是树的高度h。

译者注：这里你可能想使用之前讲过的 DFS 迭代器。

你应该填充的下一个方法是put。我提供了处理简单情况的起始代码：

    public V put(K key, V value) {
        if (key == null) {
            throw new IllegalArgumentException();
        }
        if (root == null) {
            root = new Node(key, value);
            size++;
            return null;
        }
        return putHelper(root, key, value);
    }

    private V putHelper(Node node, K key, V value) {
        // TODO: Fill this in.
    }

如果你尝试将null作为关键字，put则会抛出异常。

如果树为空，则put创建一个新节点并初始化实例变量root。

否则，它调用putHelper，这是我定义的私有方法；它不是Map接口的一部分。

填写putHelper，让它搜索树，以及：

• 如果key已经在树中，它将使用新值替换旧值，并返回旧值。
• 如果key不在树中，它将创建一个新节点，找到正确的添加位置，并返回null。

你的put实现的是时间应该与树的高度h成正比，而不是元素的数量n。理想情况下，你只需搜索一次树，但如果你发现两次更容易搜索，可以这样做：它会慢一些，但不会改变增长级别。

最后，你应该填充keySet。根据 http://thinkdast.com/mapkeyset 的文档，该方法应该返回一个Set，可以按顺序迭代键；也就是说，按照compareTo方法，升序迭代。我们在 8.3 节中使用的HashSet实现不会维护键的顺序，但LinkedHashSet实现可以。你可以阅读 http://thinkdast.com/linkedhashset。

我提供了一个keySet的大纲，创建并返回LinkedHashSet：

    public Set<K> keySet() {
        Set<K> set = new LinkedHashSet<K>();
        return set;
    }

你应该完成此方法，使其以升序向set添加树中的键。提示：你可能想编写一个辅助程序；你可能想让它递归；你也可能想要阅读 http://thinkdast.com/inorder 上的树的中序遍历。

当你完成时，所有测试都应该通过。下一章中，我会讲解我的解法，并测试核心方法的性能。