[论文理解] Mutual Information Neural Estimation

Mutual Information Neural Estimation

互信息定义：

\(I(X;Z) = \int_{X \times Z} log\frac{d\mathbb{P}(XZ)}{d\mathbb{P}(X) \otimes \mathbb{P}(Z)}d\mathbb{P}(XZ)\)

CPC文章里用下面这个公式定义要更加容易理解，都是一样的：

\[I(x;z) = \sum_{x,z}p(x,z) log \frac{p(x,z)}{p(x)p(z)} \]

互信息越大，表明两个变量依赖关系越强，互信息越小，表示两个随机变量越独立。

KL散度的对偶问题：

因此根据KL散度和其对偶问题之间的关系我们可以得到：

\[D_{K L}(\mathbb{P} \| \mathbb{Q}) \geq \sup _{T \in \mathcal{F}} \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[T]-\log \left(\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[e^{T}\right]\right) \]

利用上式优化互信息的下界：

\[I(X ; Z) \geq I_{\Theta}(X, Z) \]

\[I_{\Theta}(X, Z)=\sup _{\theta \in \Theta} \mathbb{E}_{\mathbb{P}_{X Z}}\left[T_{\theta}\right]-\log \left(\mathbb{E}_{\mathbb{P}_{X} \otimes \mathbb{P}_{Z}}\left[e^{T_{\theta}}\right]\right) \]

优化算法：

一般来说z的分布用高斯分布，x和z的分布(marginal distribution)都好采样；

对于joint distribution，用一个神经网络来建模，即F(x,z)，然后其结果就是joint distribution的采样了。

代入公式计算即可。

class Mine(nn.Module):
    def __init__(self, input_size=2, hidden_size=100):
        super().__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(input_size, hidden_size)
        self.fc2 = nn.Linear(hidden_size, hidden_size)
        self.fc3 = nn.Linear(hidden_size, 1)
        
    def forward(self, input):
        output = F.elu(self.fc1(input))
        output = F.elu(self.fc2(output))
        output = self.fc3(output)
        return output

def mutual_information(joint, marginal, mine_net):
    t = mine_net(joint)
    et = torch.exp(mine_net(marginal))
    mi_lb = torch.mean(t) - torch.log(torch.mean(et))
    return mi_lb, t, et