什么是“几何级数”？什么是“算数级数”？有啥区别？

算数级数：从第二项开始，每一项都是由前一项加上一个常数构成的序列。

几何级数：从第二项开始，每一项都是由前一项的多少次方。

 

比如，马尔萨斯人口论的前提是：人口呈几何级数增长；食物呈现算数级数增长。

 

所谓“几何级数”，又称“等比级数”，指的是这样一个数列，这个数列中的每一个数都是前一个数的固定倍数，这个倍数又称“公比”。

因此一个数跟前一个数之间的增长率或者变化率就是恒定的。这个倍数当然在不同的情况下会不一样。“按几何级数增长”，指的就是按照这样一种格式增长。

也就是说，按几何级数增长实际上就是按照同样的增长率增长。至于这个增长率是多少，那就是另外一回事情了。

在“人口论”中，马尔萨斯举的例子就是人口按照1，2，4，8，16……这样的等比数列增长，

如果从一个数到下一个数之间需要一代人的时间，并假定一代人的时间是30年，那么分解到每一年，年人口增长率大概就是2.4%。

对于“等比级数”来说，如果公比大于1，那么这个数列就按照几何级数增长，如果公比小于1，那么这个数列就按照几何级数减少。

比如说，一个数列按照2%的比例减少，那就意味着大概35年后，这个数列的数值就会是期初数的50%，这就是物理学中常说的“半衰期”。

按照《中国统计年鉴》中公布的数字，中国小学的招生人数从1978年到2007年下降了一半，因此中国同龄人口数的半衰期就是30年，意味着中国在这30年中，同龄人口每年就以-2.4%的增长率减少。这是一个非常可怕的数字。

 

 

所谓“算术级数”，又称“等差级数”，指的是指的是这样一个数列，这个数列中的每一个数跟前一个数的差额是固定的，这个差额又称“公差”。

因此一个数跟前一个数之间的增长幅度或者变化幅度就是恒定的。 “按算术级数增长”，指的就是按照这样一种格式增长。

这个数列的增长率是逐年下降的，因为增长幅度一样，但越往后，数列中的数值就越大（假定公差是正的）。这个公差当然在不同的情况下会不一样。

 

因此，“按几何级数增长”和“按算术级数增长”的关键区别是：“按几何级数增长”意味着按固定的增长率增长，但每期的增长幅度不一样，

如果增长率是正的，那么越往后增长幅度越大；“按算术级数增长”意味着按固定的增长幅度增长，但每期的增长率不一样，如果增长幅度是正的，

那么越往后增长率越小。“人口论”假定人口按几何级数增长，食物按算术级数增长，意味着人均粮食逐年减少，从而会引发粮食危机。