基于PCA的特征提取

图像处理方面的知识也学了一段时间了，总是光看理论的话，感觉联系不上实际，第一次把理论综合的实现出来，对这些理论的印象才感觉的更深刻，也能够为后续的学习打下良好的基础。

PCA是比较老的算法，但是可靠性挺好，对于我这种新手，练练手还是不错的。

下面开始对这些算法说一说我自己的理解，如果有不正确的地方还请各位牛人指点。

主成分分析(PCA)是多变量分析中一项很老的技术，源于通信理论中的K-L变换，它考虑的是对于d维空间中的n个向量X1,X2......Xn，如何在低维空间中进行表示，这需要对其空间进行变换。

变换具体的表示如下：

其中即为对样本的一种近似表示，是样本的均值，

就是在d'维空间中的主成份分量，也就是经过PCA提取后的一组特征。

是这d'维空间的一组基。

这样即为原样本在d'维空间的一种近似。

看到这，还不知道和是如何计算得到的，具体的推理过程就不细说了，想知道的可以自行查阅相关资料，我只写一下他们的计算公式。

是散布矩阵S的前d‘个特征向量，是散布矩阵S的前d‘个特征值，而散布矩阵S为，其中Z为样本矩阵X中的每个样本减去样本均值后得到的矩阵。

S是d*d的矩阵，计算量很大，幸运的是有一种快速计算的方法，这里我们考虑，一般情况下样本数目n原小于样本维数d，所以R的尺寸远小于散布矩阵S。

设是R的特征向量为，则有

                                        

对上式两边同时左乘，得

                                     

说明为散布矩阵S的特征值，至此，可以计算小矩阵R的特征向量来得到散布矩阵S的特征向量。

当计算出散布矩阵S的特征向量和特征值时，就可以对样本进行表示了。

假设计算的是前20个特征值和特征向量，那么样本就可以用这20个特征值对其进行表示，这也就是样本的主成份。

快速PCA计算的matlab实现代码如下：

function [ pcaA   V] =fastPCA( A,k )

%输入:A------样本矩阵，每行为一个样本
%         k------降维至k维
%输出:pcaA----降维后K维样本特征向量组成的矩阵，每行一个样本，列数k为降维后的样本特征维数
%     V-------主成分分量
[r,c]=size(A);
%样本均值
meanVec = mean(A);
%计算协方差矩阵的转置 covMatT
Z=(A-repMat(meanVec,r,1));
covMatT =Z*Z';
%计算covMatT的前k个本征值和本征向量
[V D] = eigs(covMatT,k);
%得到协方差矩阵covMatT'的本征向量
V = Z'*V;
%本征向量归一化为单位本征向量
for i=1:k
    V(:,i)=V(:,i)/norm(V(:,i));
end


pcaA = Z*V;


end