一、什么是分治
【百度百科】分治法（(Divide and Conquer)）可以通俗的解释为：把一片领土分解，分解为若干块小部分，然后一块块地占领征服，被分解的可以是不同的政治派别或是其他什么，然后让他们彼此异化。
分治法的精髓：
- 分--将问题分解为规模更小的子问题；
- 治--将这些规模更小的子问题逐个击破；
- 合--将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解；
在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
大白话：大事化小，小事化了。
二、分治法能解决的问题特征
- 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
- 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
- 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
- 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
大白话：简单问题分治法，复杂问题贪心法或动态规划，是否简单看上面的四个特征↑。
PS:大数据中运用分治法非常多，通常会把大问题分解成相同的小问题，后面我们再慢慢聊。
三、分治法解法
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就可以使用递归技术来解决。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
这样，我们就把分治法化为了怎么进行递归。
1.求解递归式的三种方法
这三种方法分别是：代入法，递归树法，和主方法。代入法是一种十分强大的方法，它几乎可以求解所有的递归式。然而，对于一些“小鸡”来说，不需要这么强大的“牛刀”。对于一些特定类型的递归式（具体类型在主方法的小节中会介绍），用主方法可以用更少的时间得到一个更确切的界。
2.分治法在每一层递归上都有三个步骤：
- 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
- 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
- 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
3.它的一般的算法设计模式如下：
- 1. if |P|≤n0
- 2. then return(ADHOC(P))
- 3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
- 4. for i←1 to k
- 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
- 6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
- 7. return(T)
四、分治法实现最近对问题（JAVA）
题目：假设所有点都在集合S中。
- 用S中个点坐标的中位数作为分割点，则会得到一个平衡的分割点m，使得子集S1,S2中有个数大致相同的点。
- 选取垂直线x=c（中位线）来作为分割线。
- 递归地求出S1和S2中的最近对，假设D1、D2是最近距离。
- 距离最近的点，可能在线的俩边，所以，我们需要在以x=c为对称的、宽度为2D的（D为D1、D2中的最小值）的垂直带中。
- 在该范围中递归得出最近距离。
import java.util.*; public class S2_4 { public static void main(String[] args) { Scanner s=new Scanner(System.in); int x=0,x1=0,x2=0,x3=0,x4=0; int y=0,y1=0,y2=0; double dis1=0,dis2=0; System.out.print("输入需要生成多少个随机点N："); int n=s.nextInt(); int A[][]=new int[n][2]; int B[][]=new int[n][2]; int C[][]=new int[n][2]; int D[][]=new int[n][2]; for(int i=0;i<n;i++) { A[i][0]=(int)(Math.random()*100)+1;//生成100以内的随机数,放入横坐标 } for(int i=0;i<n;i++) { A[i][1]=(int)(Math.random()*100)+1;//生成100以内的随机数,放入纵坐标 } for(int i=0;i<n;i++) { System.out.println("("+A[i][0]+","+A[i][1]+")"); } int minX = (int) Double.POSITIVE_INFINITY; //保证假设的初始最小值足够大 int maxX = (int) Double.NEGATIVE_INFINITY; //保证假设的初始最大值足够小 for(int i = 0; i < A.length; i++){ if(A[i][0] < minX) minX = A[i][0]; if(A[i][0] > maxX) maxX = A[i][0]; } int mid = (minX + maxX)/2; int p=0,t=0; for(int i=0;i<n;i++) { //将x坐标分成俩个部分 if(A[i][0]<=mid) { B[p][0]=A[i][0]; B[p][1]=A[i][1]; p++; } else { C[t][0]=A[i][0]; C[t][1]=A[i][1]; t++; } } int d1=(int) Double.POSITIVE_INFINITY,d2=(int) Double.POSITIVE_INFINITY; //设置俩边的距离最小值为较大的数值 int dx=0,dy=0,dz=0; for(int i=0;i<=p-2;i++) //得出d1的值 for(int j=i+1;j<=p-1;j++) { dx=(B[j][0]-B[i][0])*(B[j][0]-B[i][0])+(B[j][1]-B[i][1])*(B[j][1]-B[i][1]); if(dx<d1) { d1=dx; x1=i; //记录俩个点的坐标 x2=j; } } for(int i=0;i<=t-2;i++) //得出d2的值 for(int j=i+1;j<=t-1;j++) { dy=(C[j][0]-C[i][0])*(C[j][0]-C[i][0])+(C[j][1]-C[i][1])*(C[j][1]-C[i][1]); if(dy<d2) { d2=dy; x3=i; //记录俩个点的坐标 x4=j; } } System.out.println("mid="+mid+" "+"d1="+d1+" "+"d2="+d2); if(d1<d2) { dz=d1; dis1=Math.sqrt(dz); System.out.println("x坐标中的最小距离的俩个点为："+A[x1][0]+","+A[x1][1]+" "+A[x2][0]+","+A[x2][1]); System.out.println("最小距离为："+dis1); x=x1; y=x2; }else { dz=d2; dis1=Math.sqrt(dz); System.out.println("x坐标中的最小距离的俩个点为："+A[x3][0]+","+A[x3][1]+" "+A[x4][0]+","+A[x4][1]); System.out.println("最小距离为："+dis1); x=x3; y=x4; } int q=0; for(int i=0;i<n;i++) { if((mid-dis1)<=A[i][0] && A[i][0]<=(mid+dis1)) { //中心线左右俩边的最小距离内寻找俩边的最近点 D[q][0]=A[i][0]; D[q][1]=A[i][1]; q++; } } double mind=Double.POSITIVE_INFINITY;//mind设置为正无穷大，作为比较值 double dis=0; for(int k=0;k<=q-2;k++) for(int j=k+1;j<=q-1;j++) { dis=(D[j][0]-D[k][0])*(D[j][0]-D[k][0])+(D[j][1]-D[k][1])*(D[j][1]-D[k][1]); if(dis<mind) { mind=dis; y1=k; //记录俩个点的坐标 y2=j; } } dis2=Math.sqrt(mind); System.out.println("dis1="+dis1+" "+"dis2="+dis2); if(dis1<dis2) { System.out.println("最小距离为："+dis1); System.out.print("俩个点分别为："+"("+A[x][0]+","+A[x][1]+")"); System.out.println(" "+"("+A[y][0]+","+A[y][1]+")" ); }else { System.out.println("最小距离为："+dis2); System.out.print("俩个点分别为："+"("+A[y1][0]+","+A[y1][1]+")"); System.out.println(" "+"("+A[y2][0]+","+A[y2][1]+")" ); } } }
五、经典问题
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参考资料：
