联考4

T1

看名字就知道是跟卡特兰数有关系，于是我当时就打了一个dp暴力就跳了？并且我现在看不懂我的\(N^2dp\) 了。

算卡特兰数的时候是记横坐标为放的左括号数量，纵坐标为放的右括号数量，那么合法的括号序列其实就意味着从\((0,0)\)走到\((n,n)\)并且不碰\(y=x+1\)这条直线的方案数，因为碰到的话就至少有一个不能匹配的括号对了。

这题其实也是一样，只是改成只能有\(m\)个括号对未匹配而已，那么可以先差分一下，答案就是不超过\(m\)个括号对未匹配的方案数减去不超过\(m-1\)个括号对未匹配的方案数，如果不超过\(m\)个括号未匹配，那么其实就是不能碰到直线\(y=x+m+1\)，所以将路线翻折一下就能得到这种路线唯一对应一条到达\((n-m-1,n+m+1)\)的路径，
所以最后答案就是\(C^{n-m}_{2n}-C^{n-m-1}_{2n}\)，注意折线法的应用。

T2

数学的魅力来了

直接二项式定理展开算，时间复杂度有点高所以注意卡常。

T3

观察得到结论，最后剩下的数一定是中间的两到三个数之一。

先假设序列为偶数，那么最后一定是想要大数的那个人结束战斗，所以设\(mid=1+n>>1\)，则答案为\(max(a[mid],a[mid+1])\)，不可能是别的数，因为假设是别的数\(x\)，如果\(x\)比中间那个数大，想要小数的就会把它取走，否则另一个人取走。

那序列为奇数呢？第一个人拿走一个数后就是偶数序列了，并且拿走的数一定且只能是最左边的或者是最右边的，如果是最左边的，那么剩下的序列中，最后一个取的人是想要小数的，答案为\(min(a[mid],a[mid+1])\)，否则为\(min(a[mid],a[mid-1])\)，因为第一次选择是想要大数的人选择，所以二者取\(max\)。

如果提前拿走数的话，就是移动了中心，可以求出中心移动的范围然后构造一个新数列于是就成了RMQ问题。

T4

也要得出结论，当且仅当\(\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^{a_i}}<1\)玩家会赢，所以就完了。。

博弈论的题要找找规律推推结论。