AT2272

前言

这题让我知道了，大佬写证明，蒟蒻找规律。

分析

借鉴于此
首先是一个知识，\(a+b \ge a\) \(xor\) \(b\)
在\(u\le v\)的时候，如果\(v\)不超出范围，那么\(u\)一定不会超出，设\(dp_{i,j}\)表示考虑了当前\(a，b\)的第\(i\)位，且\(v=a+b=j\)的方案数。
然后对于\(i\)和\(i-1\)的转移，令\(j_1\)表示\(i-1\)时的\(j\)，这时\(a,b\)的第\(i\)位只会有三种情况。

• \(j_1+1<<1=j\)表示第\(i\)位上都放了1
• \(j_1<<1=j\)表示第\(i\)位上都放了0
• \(j_1<<1|1=j\)表示第\(i\)位上一个放了1，另一个放了0
  可以发现状态只跟上一层有关，于是压去一维。
  但发现这个数组还是开不下，于是就用到了std::map，第一次发现map还能拿来做dp。
  其实这个题很好的说明了dp的优点，它和暴力很像但是比暴力快，快在了什么地方，就是它用了一个状态就能表示暴力算了很多次的东西，大大减少了不必要的计算。

#include<cstdio>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
const int Mod=1e9+7;
map<ll,ll> dp;
ll dfs(ll x){
    if(dp[x])return dp[x];
    return dp[x]=(dfs(x>>1)+dfs(x-1>>1)+dfs(x-2>>1))%Mod;
}
int main(){
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    dp[0]=1;
    dp[1]=2;
    ll res=dfs(n)%Mod;
    printf("%lld\n",res);
}