线性代数定理集

I型初等变换 ： 方程组中除第 i,k 个之外的所有的方程保持不动，而第 i,k 个方程交换位置。

II型初等变换 ：除第 i 个之外的所有方程保持不变，而第 i 个方程变为 形如(*)的形式[见书中第10页]

 

定理 1 如果一个线性方程组是由另一个线性方程组经过有限多次初等变换得到的，则这两个方程组等价。[等价性的一个充分条件]

定理 2 任意线性方程组都等价于一个阶梯形方程组。

定理 2' 任意矩阵都可以用初等变换化成阶梯形。

定理 3 一个线性方程组具有相容性的充分必要条件是，将它转化为阶梯形方程组后，不包含形如 0 = b¯[t], 且 b¯[t] ≠ 0 的方程. 如果这一条成立, 自由变量可以取任意值; 而主未知数(在自由变量的任意一组定值之下)由方程组唯一确定.

r = n

定理 4 一个相容的线性方程组(2)是确定的，当且仅当（iff）由它得到的阶梯方程组(4)满足条件 r = n。

 从定理3 和 公式（4）引出

 推论 1 线性方程组（2）当 m = n 时是相容且确定的，当且仅当（iff）将它化为阶梯形后，所得的线性方程组（5）满足条件a¯[11]a¯[22]...a¯[nn] ≠ 0.

 

推论 1' 线性方程组（2）在 m = n 的情况下是相容且确定的，当且仅当（iff）与之对应的其次方程组（2º）只有零解。

 

 推论 2 当 n > m 时，相容的方程（2）是不确定的，特别地，齐次方程组当 n > m 时永远有非零解。