初涉斯坦纳树&&bzoj4774: 修路
斯坦纳树的基础应用
斯坦纳树有什么用
个人一点粗浅理解……
最基本形式的斯坦纳树问题（以下简称母问题）：给定图G和一个关键点集V。求在G中选取一个权值最小（这里权值可以有很多变式）的边集E使V中的点两两连通。
由于这个母问题只对关键点有限制。那么可以用状压dp的做法：$f[i][j]$表示对于$i$点而言，它已连通的关键点状态为$j$的最小代价。
那么$f[i][j]$就有两种转移方式：1.从$f[i][t]$转移而来；2.从$f[v][j]$转移而来。
注意到第一种转移就相当于枚举子集；第二种转移形如最短路问题。那么只需要每次额外对于第二种转移做一遍最短路即可。
最终的时间复杂度为$O(n*3^k)$。
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【dp套斯坦纳树】bzoj4774: 修路
Description
村子间的小路年久失修，为了保障村子之间的往来，法珞决定带领大家修路。对于边带权的无向图 G = (V, E)，
请选择一些边，使得1 <= i <= d， i号节点和 n - i + 1 号节点可以通过选中的边连通，最小化选中的所有边
的权值和。
Input
第一行三个整数 n, m，d,表示图的点数和边数。接下来的 m行，每行三个整数 ui, vi, wi，表示有一条 ui 与 vi
之间，权值为 wi 的无向边。
1 <= d <= 4
2d <= n <= 10^4
0 <= m <= 10^4
1 <= ui, vi <= n
1 <= wi <= 1000
Output
一行一个整数，表示答案，如果无解输出-1
题目分析
不同的是，这里只要求$i$和$n-i+1$连通。
用$f[i][j]$表示对于$i$节点，$2d$个点的连通状态为$j$时的最小代价。另用$g[t]$表示全局$t$状态时的最小代价。
若$t$状态可拆成$x,y$两个合法状态，$g[x]+g[y]$也可以用于更新$g[t]$状态。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 const int maxn = 10035; 3 const int maxm = 20035; 4 const int INF = 0x3f3f3f3f; 5 6 struct Edge 7 { 8 int y,val; 9 Edge(int a=0, int b=0):y(a),val(b) {} 10 }edges[maxm]; 11 int n,m,d; 12 bool vis[maxn]; 13 std::queue<int> q; 14 int f[maxn][305],g[305]; 15 int edgeTot,head[maxn],nxt[maxm]; 16 17 int read() 18 { 19 char ch = getchar(); 20 int num = 0; 21 bool fl = 0; 22 for (; !isdigit(ch); ch=getchar()) 23 if (ch=='-') fl = 1; 24 for (; isdigit(ch); ch=getchar()) 25 num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48; 26 if (fl) num = -num; 27 return num; 28 } 29 void spfa(int st) 30 { 31 for (int i=1; i<=n; i++) 32 if (f[i][st]!=INF) q.push(i); 33 while (q.size()) 34 { 35 int tt = q.front(); 36 q.pop(), vis[tt] = 0; 37 for (int i=head[tt]; i!=-1; i=nxt[i]) 38 { 39 int v = edges[i].y, w = edges[i].val; 40 if (f[v][st] > f[tt][st]+w){ 41 f[v][st] = f[tt][st]+w; 42 if (!vis[v]) vis[v] = 1, q.push(v); 43 } 44 } 45 } 46 } 47 bool check(int num) 48 { 49 for (int i=0; i<d; i++) 50 if (((num>>i)&1)&&((num>>(d+i))&1)==0) return 0; 51 return 1; 52 } 53 void addedge(int u, int v) 54 { 55 int c = read(); 56 edges[++edgeTot] = Edge(v, c), nxt[edgeTot] = head[u], head[u] = edgeTot; 57 edges[++edgeTot] = Edge(u, c), nxt[edgeTot] = head[v], head[v] = edgeTot; 58 } 59 int main() 60 { 61 memset(head, -1, sizeof head); 62 memset(f, 0x3f3f3f3f, sizeof f); 63 memset(g, 0x3f3f3f3f, sizeof g); 64 n = read(), m = read(), d = read(); 65 for (int i=1; i<=m; i++) addedge(read(), read()); 66 for (int i=1; i<=d; i++) 67 f[i][1<<(i-1)] = 0, f[n-i+1][1<<(d+i-1)] = 0; 68 for (int i=0; i<1<<(d<<1); i++) 69 { 70 for (int j=1; j<=n; j++) 71 for (int s=i&(i-1); s; s=(s-1)&i) 72 f[j][i] = std::min(f[j][i], f[j][s]+f[j][i-s]); 73 spfa(i); 74 for (int j=1; j<=n; j++) g[i] = std::min(g[i], f[j][i]); 75 } 76 for (int i=0; i<1<<(d<<1); i++) 77 for (int s=i&(i-1); s; s=(s-1)&i) 78 if (check(s)&&check(i-s)) 79 g[i] = std::min(g[i], g[s]+g[i-s]); 80 if (g[(1<<(d<<1))-1] != INF) 81 printf("%d\n",g[(1<<(d<<1))-1]); 82 else puts("-1"); 83 return 0; 84 }
END
