灵光一现的trick

感觉平时会丢掉好多挺好的trick……

图论

1.图G，固定S，T。可以将任意一条边加上权值$k(k>0)$，求最大化加权后最短路。

 

2.图G，固定S，T。可以将任意一条边乘以权值$k(k>0)$，求最大化加权后最短路。

 

3.有一个DAG森林，问至少加多少条边使得整张图强连通？

ans：我的想法是这样考虑：

先在基图中考虑每一个连通块，并且暂时不管原图中它们的连通性。记基图中连通块个数为$k$，那么为保证它们连通，需要$k$条边。连边之后就变成了一个大的DAG，问题变为DAG中至少加多少条边强连通，那么这个模型是好做的。（子问题一）

至于怎么加边，则由于每个基图的连通块只有一条出边一条入边，就类似贪心地分别取出入度为零的点。（子问题二）

正确性可以由子问题一二的正确性保证。

ans'：YA老爷发现这个模型好像是可以推广到DAG森林的。想了想确实有点道理。非形式化的证明：对于每一对出入度为零的点，因为最终所有点是强连通的，那么在它们之间连一条边会减少两个未确定的点。记出入度为零的点分别为$cnt_1,cnt_2$，因此答案是$max\{cnt_1,cnt_2\}$。

4.有$n$个点，每个点点权为$d_i \in N^*$，边(u,v)权为$max\{d_u,d_v\}$，满足$\sum d_i=s$。问这张图的完全图权值和最小是多少。

 

5.有$n$个点，每个点点权为$d_i \in N^*$，边(u,v)权为$max\{d_u,d_v\}$，满足$\sum d_i=s$。问在这张图选出m条边，权值和最小是多少。

 

树论

1.一颗$n$点有根树（或者无根树），给定$m$个叶子节点，要求设计一种方案将树染为黑白无三色，使得每个叶子节点到根的路径上恰好有$a_i$个白点，$b_i$个黑点。

ans：假设有解，那么根首先是可以确定下来的。那么依次顺推下去，将需求颜色相差1的连起来。如果没法连就意味着无解。时间复杂度$O(n^2)$

2.一颗$n$点有根树（或者无根树），给定$m$个叶子节点，要求设计一种方案将树染为黑白无三色，使得每个叶子节点到根的路径上至少有$a_i$个白点，$b_i$个黑点。

ans：好像连成一条链就行了吧？……若有无法连续的也意味着没有中间过渡的节点，即无解。

 

动态规划

1.有$n$个有权值的物品，$q$次询问删去一个物品$i$后在大小为$V$的背包中获得最大收益。删除操作独立。

 

2.有$n$个有权值的物品，$q$次询问删去一个物品$i$后在大小为$V$的背包中获得最大收益。删除操作不独立。

 

3.有$n$个有权值的物品，$q$次询问删去若干个物品后在大小为$V$的背包中获得最大收益。删除操作独立。

 

杂题

1.已知一个序列，任意交换至有序的次数是其逆序对个数。那么若有两个类型的序列混成一个序列（213213），其任意交换两数至有序（不一定要连续，如123123）的次数？

 

2.长度为$n$的序列，每个元素在$1...m$内均匀随机，求该序列gcd为d的概率。要求组合式子。

 

3.排序。首先位数大的数字一定大，对于位数相同的数字，就是一个字典序比较的过程。字典序比较可以参考trie的遍历。复杂度$O(n\log_rm)$.

 

4.一个串$S=antiquality$重复$k$次形成串$T$，问$S$在$T$中作为子序列出现次数。比如$T=antiqualityantiquality$。

　　ans：记串长为$n$，因为串$T=SSSS\cdots$，那么首先会想到$k \choose n$这个东西是表示每个字母在不同位置的方案数。

　　那我们考虑加入$n-1$个虚拟点，第$i$个点表示$i,i+1$个字母在同一个$S$中。也即答案为$n-1+k \choose n$.

5.给定一个序列，求这个序列本质不同子序列出现次数的平方/立方和。

　　ans：也就是平方/立方和的一般处理方式，下面以平方和为例。考虑把序列复制一遍来处理，$f[i][j]$表示两个相同子序列（并不关心具体是什么）、一个以$i$结尾、一个以$j$结尾的方案数。那么所有的平方和贡献相当于将会在对应位置被统计。