概述「DAG加边至强连通」模型&&luoguP2746校园网Network of Schools
模型概述
有一DAG，问最少加多少条边能够使图强连通。
题目描述
一些学校连入一个电脑网络。那些学校已订立了协议：每个学校都会给其它的一些学校分发软件（称作“接受学校”）。注意即使 B 在 A 学校的分发列表中， A 也不一定在 B 学校的列表中。
你要写一个程序计算，根据协议，为了让网络中所有的学校都用上新软件，必须接受新软件副本的最少学校数目（子任务 A）。更进一步，我们想要确定通过给任意一个学校发送新软件，这个软件就会分发到网络中的所有学校。为了完成这个任务，我们可能必须扩展接收学校列表，使其加入新成员。计算最少需要增加几个扩展，使得不论我们给哪个学校发送新软件，它都会到达其余所有的学校（子任务 B）。一个扩展就是在一个学校的接收学校列表中引入一个新成员。
输入输出格式
输入格式：
输入文件的第一行包括一个整数 N：网络中的学校数目（2 <= N <= 100）。学校用前 N 个正整数标识。
接下来 N 行中每行都表示一个接收学校列表（分发列表）。第 i+1 行包括学校 i 的接收学校的标识符。每个列表用 0 结束。空列表只用一个 0 表示。
输出格式：
你的程序应该在输出文件中输出两行。
第一行应该包括一个正整数：子任务 A 的解。
第二行应该包括子任务 B 的解。
题目分析
第一问非常简单，就是缩点之后求入度为零的点个数。
至于第二问……一开始我想了很久，后来发现好像想复杂去了。
先加边再删边
我一开始想到的是类似于floyd的想法，来试图删去“多余的边”。
这里对于多余的边的定义是：删去这些边后不会改变图中两两点对的连通性。
那么对于点$x$，将它与所有不能到达的点$y$连边，最后再考虑哪些边是可删去的多余边。
但是这样很冗余，同时计算出的答案是会偏大的……而且我后来发现好像floyd做不到这个操作？
从图的性质考虑
先不来考虑森林（其实森林的情况也一样）比如说这样一张图：
标红的是入度为零的点；标蓝的是出度为零的点。
按照之前的想法，那就是把点1,2,3,4与其他所有它们不能到达的点相连。
但是可以发现对于点5,6来说，是能够到达所有点的；对于点2来说，它只能够到达自身；并且，所有点都能够到达点2。
那么只需要给点2向点5,6连边，就能够使图成为强连通。
更为普遍的情况则是，红点有$x$个；蓝点有$y$个，则最少加边数为$max\{x,y\}$。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 const int maxn = 103; 3 const int maxm = 20003; 4 5 int tim,dfn[maxn],low[maxn],degOut[maxn],degInn[maxn]; 6 int stk[maxn],cnt; 7 int col[maxn],cols; 8 int edgeTot,edges[maxm],nxt[maxm],head[maxn]; 9 int n,ans; 10 11 int read() 12 { 13 char ch = getchar(); 14 int num = 0; 15 bool fl = 0; 16 for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) 17 if (ch=='-') fl = 1; 18 for (; isdigit(ch); ch = getchar()) 19 num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48; 20 if (fl) num = -num; 21 return num; 22 } 23 void addedge(int u, int v) 24 { 25 edges[++edgeTot] = v, nxt[edgeTot] = head[u], head[u] = edgeTot; 26 } 27 void tarjan(int x) 28 { 29 dfn[x] = low[x] = ++tim; 30 stk[++cnt] = x; 31 for (int i=head[x]; i!=-1; i=nxt[i]) 32 { 33 int v = edges[i]; 34 if (!dfn[v]) 35 tarjan(v), 36 low[x] = std::min(low[x], low[v]); 37 else if (!col[v]) 38 low[x] = std::min(low[x], dfn[v]); 39 } 40 if (low[x]==dfn[x]){ 41 col[x] = ++cols; 42 for (; stk[cnt]!=x; cnt--) 43 col[stk[cnt]] = cols; 44 cnt--; 45 } 46 } 47 int main() 48 { 49 memset(head, -1, sizeof head); 50 n = read(); 51 for (int i=1; i<=n; i++) 52 { 53 int x; 54 while (x = read()) 55 addedge(i, x); 56 } 57 for (int i=1; i<=n; i++) 58 if (!dfn[i]) tarjan(i); 59 for (int i=1; i<=n; i++) 60 for (int j=head[i]; j!=-1; j=nxt[j]) 61 if (col[i]!=col[edges[j]]) 62 degInn[col[i]]++, degOut[col[edges[j]]]++; 63 for (int i=1; i<=cols; i++) 64 if (!degOut[i]) ans++; 65 printf("%d\n",ans); 66 if (cols==1) printf("0\n"); 67 else{ 68 int cnta = 0, cntb = 0; 69 for (int i=1; i<=cols; i++) 70 { 71 if (degInn[i]==0) cnta++; 72 if (degOut[i]==0) cntb++; 73 } 74 printf("%d\n",std::max(cnta, cntb)); 75 } 76 return 0; 77 }
END
