【组合数学】cf660E. Different Subsets For All Tuples
比较套路的组合数学题
For a sequence a of n integers between 1 and m, inclusive, denote f(a) as the number of distinct subsequences of a (including the empty subsequence).
You are given two positive integers n and m. Let S be the set of all sequences of length n consisting of numbers from 1 to m. Compute the sum f(a) over all a in S modulo 109 + 7.
Input
The only line contains two integers n and m (1 ≤ n, m ≤ 106) — the number of elements in arrays and the upper bound for elements.
Output
Print the only integer c — the desired sum modulo 109 + 7.
题目大意
一个长度为 $N$ 的数列,每个位置上的数字可以是$[1,M]$,这样的数列一共有$M^N$个。对于$M^N$这个数列,求其本质不同的子序列个数之和。答案对 $P$ 取模。
$1≤N,M≤10^6,2≤P≤10^9+7$,保证 $P$ 是质数。
题目分析
正经推式子
首先注意到对于长度相同的子序列,它们在答案中的贡献是相同的。那么问题变为了计算$f_i$:长度为$i$的子序列对答案的贡献。
为了保证不算重贡献,我们所求的子序列必须是在全数列中唯一出现一次的方案。也就是说,设长为$i$的子序列是${a_1,a_2\cdots a_i}$,那么$a_1$之前不能出现$a_1$;$a_1\cdots a_2$之间不能出现$a_2$;$\cdots$以此类推。从最基础的式子考虑起:枚举一个数$j$为长度为$i$的子序列在序列中的结束位置。则有:
$\sum f_i=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i}^{n}m^i{j-1\choose i-1}m^{n-j}(m-1)^{j-i}$
其中,$m^i$表示这个长度为$i$的序列有几种本质不同的方案数;${j-1\choose i-1}$表示除了强制固定在$j$位的最后一个数字,剩下的可在前$j-1$中任意选取;$m^{n-j}$表示$j+1\cdots n$的位置可以任意排列数字;$(m-1)^{j-i}$表示前$j-i$位置由于有且仅有一次我们所强制的子序列,那么每个位置只能安排$m-1$个数。
按照常规套路,把$i,j$的两重循环互换位置:
$\sum f_i=\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{j}{j-1\choose i-1}m^{n-j+i}(m-1)^{j-i}$
注意到后一部分是一个类似二项式展开的形式,因此把$i$改为$0\cdots j-1$的循环。
$\sum f_i=\sum\limits_{j=1}^{n}m^{n-j+1}\sum\limits_{i=0}^{j-1}{j-1\choose i}m^i(m-1)^{j-i-1}$
$\sum f_i=\sum\limits_{j=1}^{n}m^{n-j+1}(2m-1)^{j-1}$
那么所求答案就是$ans=\sum f_i+M^N$.因此可以使用$O(n\log n)$或$O(n)$的复杂度通过此题。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define MO 1000000007 3 4 int n,m; 5 long long ans; 6 7 int qmi(int a, int b) 8 { 9 int ret = 1; 10 for (; b; b>>=1, a=1ll*a*a%MO) 11 if (b&1) ret = 1ll*ret*a%MO; 12 return ret; 13 } 14 int main() 15 { 16 scanf("%d%d",&n,&m); 17 for (int i=1; i<=n; i++) 18 ans = (ans+1ll*qmi(m, n-i+1)*qmi(2*m-1, i-1)%MO)%MO; 19 printf("%lld\n",(ans+1ll*qmi(m, n))%MO); 20 return 0; 21 }
关于找规律的技巧
考虑答案大概是一个$ans=\sum\limits_{i=1}^n k_1(m+a)k_2(2m+b)k_3(m^2+c)\cdots$的形式。
那么就依据暴力来观察答案。
当然前提条件是暴力写得又快又准……
END