堆与堆相关
堆(Heap),是一颗完全二叉树(设树的高度为h,则h-1层全满,第h层连续缺失若干右叶子)。适合顺序存储。
堆中元素的父亲节点数组下标是本身的1/2(只取整数部分),故堆的大部分操作复杂都都是log级别。
- 大、小根堆及堆的维护
如果每个数都大于等于自己的父结点,这个堆就叫做“大根堆”;
相反,如果每个数都小于等于自己的父结点就叫做“小根堆”。
小根堆的根节点的值是最小值,大根堆的根节点的值是最大值。
注意:堆内的元素并不一定数组下标顺序来排序的!!很多的初学者会错误的认为大/小根堆中下标为1就是第一大/小,2是第二大/小……
实例:例如,我们要把 {8,5,2,10,3,7,1,4,6} 维护成一个小根堆。
初状态如下:
如何将这组杂乱无章的的数据维护成小根堆呢?堆有如下几个基本操作:- 上浮 shift_up;
- 下沉 shift_down
- 插入 push
- 弹出 pop
- 取顶 top
- 堆排序 heap_sort
显然,根节点1(元素8)不是最小的。我们很容易发现它的一个子节点3(元素2)比它更小,我们怎么将它放到最高点呢?直接交换就好。
但是,我们又发现了,3的一个子节点7(元素1)似乎更适合在根节点。这下没法直接交换了,我们就要采用上浮操作了。
上浮:把当前节点与其父亲节点比较:若比父亲节点小,交换这两个节点,并把当前询问的节点更新为原父亲节点(即继续向上询问);否则退出。伪代码:
1 Shift_up( i ){ 2 while( i / 2 >= 1) 3 { 4 if(Heap_a[ i ] < Heap_a[ i/2 ] ){ 5 swap( Heap_a[ i ] , Heap_a[ i/2 ]) ; 6 i = i / 2; 7 } 8 else break; 9 }
子节点7(元素1)上浮后,堆状态如下:
我们又发现了一个问题:节点3(元素8)的位置不太对劲,而它的子节点7(元素2)才应该在那个位置。
因此,我们将采用第二种操作:下沉。
那么问题来了:节点3(元素8)应该往哪里下沉呢?
我们知道,小根堆是尽力要让小的元素在较上方的节点,而下沉与上浮一样要以交换来不断操作,所以应该让节点7(元素2)与之交换。
由此我们可知,下沉:让当前结点的左右儿子(如果有的话)作比较,哪个比较小就和它交换,并更新询问节点的下标为被交换的儿子节点下标(即继续向下询问),否则退出。伪代码:
Shift_down( i , n ) { //n表示当前有n个节点 while( i * 2 <= n) { T = i * 2 ; if( T + 1 <= n && Heap_a[ T + 1 ] < Heap_a[ T ]) T++; if( Heap_a[ i ] < Heap_a[ T ] ){ swap( Heap_a[ i ] , Heap_a[ T ] ); i = T; } else break; }
接下来的一个肥肠重要的操作就是插入了,如何在插入元素的同时维护堆(以免堆变得杂乱无章)呢?
其实只需要在最后(叶子层的空位的最左边)插入,然后使它上浮即可~
伪代码:Push ( x ) { ++n; Heap_a[ n ] = x; Shift_up( n ); }
既然有了插入,相应的操作自然就是弹出啦,顾名思义,弹出即把堆顶元素弹飞(就像飞行员紧急逃生座椅~)。然而,一个显然的问题是——把堆顶元素弹飞岂不是会让堆断成两截、群龙无首?
为了解决这个问题,一个机智的解决方案就是把堆顶元素与堆底元素交换,弹出新堆底元素(即原来的堆顶),然后把新堆顶下沉即可。(需要注意的是要判断堆是否为空)
伪代码:Pop ( x ) { swap( Heap_a[1] , Heap_a[ n ] ); n--; Shift_down( 1 ); }
然后就是取顶(取根节点)了,显然只要返回Heap_a[1]即可。同样,需要注意判断堆内是否有元素。
- 堆排序
堆排序实质是选择排序的改进版,可以把每一趟元素比较结果保存下来,以便我们在选择最小/大元素时对已经比较过的元素做出相应的调整。
步骤:
(1)将长度为n的待排序的数组维护成一个大根堆(小根堆)(2)将根节点与尾节点交换并输出此时的尾节点(3)重新维护剩余的n -1个节点(4)重复步骤2,步骤3直至构造成一个有序序列
伪代码:Heap_sort( ans[] ){ k=0; while( Heap_a.size > 0 ) { k++; ans[ k ] = top(); pop(); } }
复杂度为O(nlogn),是不稳定排序。
为什么是O(nlogn)呢?根据堆排序的过程,每次将大根堆根节点的值跟最后一个叶子的值进行交换,那如果最后的叶子结点正好是最小的数(最差情况),那么这个数就会一层层的最终放到叶子结点的位置,这样的话这个叶子结点经过的层数就刚好为log2(n)。 - 优先队列
优先队列是一种功能强大的队列。为什么说它功能强大呢?因为它可以做到自动排序~其实它的原理就是维护上文所述的二叉堆。所以重点在于:如何实现优先队列?
所幸,C++有着一个强大的库:STL。STL里就有着优先队列,所以就不用手动实现了~
首先,你需要这个头文件:#include<queue>
声明一个优先队列的基本格式是:priority_queue<结构类型> 队列名;
例如:priority_queue <int> q; priority_queue <node> q; //node是一个结构体 //结构体里重载了‘<’小于符号 priority_queue <int,vector<int>,greater<int> > q;//注意后面两个“>”不要写在一起,“>>”是右移运算符 priority_queue <int,vector<int>,less<int> >q;
那么,对于这个以上三种优先队列q,我们可以做些什么呢?STL提供了如下标准方法:q.size();//返回q里元素个数 q.empty();//返回q是否为空,空则返回1,否则返回0 q.push(k);//在q的末尾插入k q.pop();//删掉q的第一个元素 q.top();//返回q的第一个元素 q.back();//返回q的末尾元素
这些方法是通用的,不过以上三种优先队列还是有许多性质的不同:
(1)默认优先队列,默认类型典型代表:
priority_queue <int> i; priority_queue <double> d;
向队列i中依次插入如下值:10、8、12、14、6;
q.push(10),q.push(8),q.push(12),q.push(14),q.push(6); while(!q.empty()) printf("%d ",q.top()),q.pop();
输出为
14 12 10 8 6
这说明了默认优先队列默认类型是按从大到小排序的!
(2)默认优先队列,结构体
典型代表:priority_queue <node> q; //node是一个结构体 //结构体里重载了‘<’小于符号
首先来看一下这个node结构体是何方神圣:
struct node{ int x,y; bool operator < (const node & a) const{return x<a.x;} };
这个node结构体有两个成员,x和y,它的小于规则是x小者小。
向队列q中依次插入如下值:(10,100),(12,60),(14,40),(6,20),(8,20);
k.x=10,k.y=100; q.push(k); k.x=12,k.y=60; q.push(k); k.x=14,k.y=40; q.push(k); k.x=6,k.y=80; q.push(k); k.x=8,k.y=20; q.push(k); while(!q.empty()){ node m=q.top(); q.pop(); printf("(%d,%d) ",m.x,m.y); }
输出为(14,40) (12,60) (10,100) (8,20) (6,80),即它也是按照重载后的小于规则,从大到小排序的。
(3)less和greater的优先队列
典型代表(以int为例):priority_queue <int,vector<int>,greater<int> > q;//注意后面两个“>”不要写在一起,“>>”是右移运算符 priority_queue <int,vector<int>,less<int> >q;
再次尝试(1)中的数据:
priority_queue <int,vector<int>,less<int> > p; priority_queue <int,vector<int>,greater<int> > q; int a[5]={10,12,14,6,8}; int main() { for(int i=0;i<5;i++) p.push(a[i]),q.push(a[i]); printf("less<int>:") while(!p.empty()) printf("%d ",p.top()),p.pop(); pritntf("\ngreater<int>:") while(!q.empty()) printf("%d ",q.top()),q.pop(); }
结果:
less<int>:14 12 10 8 6
greater<int>:6 8 10 12 14
由此可知,less是从大到小,greater是从小到大。
总结:常用优先队列:priority_queue<int,vector<int>,less<int> >q; priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;
优先队列题目:
POJ:3253、2431、3614