http://blog.csdn.net/whinah/article/details/6419680
从理论上讲，只要允许使用栈，所有的递归程序都可以转化成迭代。
但是并非所有递归都必须用栈，不用堆栈也可以转化成迭代的，大致有两类
- 尾递归：可以通过简单的变换，让递归作为最后一条语句，并且仅此一个递归调用。
// recursive
int fac1(int n) {
if (n <= 0) return 1;
return n * fac1(n-1);
}
// iterative
int fac2(int n) {
int i = 0, y = 1;
for (; i <= n; ++i) y *= i;
return y;
}
自顶向下->自底向上：对程序的结构有深刻理解后，自底向上计算，比如 fibnacci 数列的递归->迭代转化。
// recursive, top-down
int fib1(int n) {
if (n <= 1) return 1;
return fib1(n-1) + fib1(n-2);
}
// iterative, down-top
int fib2(int n) {
int f0 = 1, f1 = 1, i;
for (i = 2; i <= n; ++i) {
int f2 = f1 + f0;
f0 = f1; f1 = f2;
}
return f1;
}
对于非尾递归，就必须使用堆栈。可以简单生硬地使用堆栈进行转化：把函数调用和返回的地方翻译成汇编代码，然后把对硬件 stack 的 push, pop 操作转化成对私有 stack 的 push, pop ，这其中需要特别注意的是对返回地址的 push/pop，对应的硬件指令一般是 call/ret。使用私有 stack 有两个好处：
- 可以省去公用局部变量，也就是在任何一次递归调用中都完全相同的函数参数，再加上从这些参数计算出来的局部变量。
- 如果需要得到当前的递归深度，可以从私有 stack 直接拿到，而用递归一般需要一个单独的 depth 变量，然后每次递归调用加 1。
我们把私有 stack 元素称为 Frame，那么 Frame 中必须包含以下信息：
- 返回地址（对应于每个递归调用的下一条语句的地址）
- 对每次递归调用都不同的参数
通过实际操作，我发现，有一类递归的 Frame 可以省去返回地址！所以，这里又分为两种情况：
- Frame 中可以省去返回地址的递归：仅有两个递归调用，并且其中有一个是尾递归。
// here used a function 'partition', but don't implement it
tempalte<class RandIter>
void QuickSort1(RandIter beg, RandIter end) {
if (end - beg <= 1) return;
RandIter pos = partition(beg, end);
QuickSort1(beg, pos);
QuickSort1(pos + 1, end);
}
tempalte<class RandIter>
void QuickSort2(RandIter beg, RandIter end) {
std::stack<std::pair<RandIter> > stk;
stk.push({beg, end});
while (!stk.empty()) {
std::pair<RandIter, RandIter> ii = stk.top(); stk.pop();
if (ii.second - ii.first) > 1) {
RandIter pos = partition(beg, end);
stk.push({ii.first, pos});
stk.push({pos + 1, ii.second});
}
}
}
Frame 中必须包含返回地址的递归，这个比较复杂，所以我写了个完整的示例：
- 以MergeSort为例，因为 MergeSort 是个后序过程，两个递归调用中没有任何一个是尾递归
- MergeSort3 使用了 GCC 的 Label As Value 特性，只能在 GCC 兼容的编译器中使用
- 单纯对于这个实例来说，返回地址其实只有两种，返回地址为 0 的情况可以通过判断私有栈(varname=stk)是否为空，stk为空时等效于 retaddr == 0。如果要精益求精，一般情况下指针的最低位总是0，可以把这个标志保存在指针的最低位，当然，如此的话就无法对 sizeof(T)==1 的对象如 char 进行排序了。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
# if 1
#include <stack>
#include <vector>
template<class T>
class MyStack : public std::stack<T, std::vector<T> >
{
};
#else
template<class T>
class MyStack {
union {
char* a;
T* p;
};
int n, t;
public:
explicit MyStack(int n=128) {
this->n = n;
this->t = 0;
a = new char[n*sizeof(T)];
}
~MyStack() {
while (t > 0)
pop();
delete[] a;
}
void swap(MyStack<T>& y) {
char* q = y.a; y.a = a; a = q;
int z;
z = y.n; y.n = n; n = z;
z = y.t; y.t = t; t = z;
}
T& top() const {
return p[t-1];
}
void pop() {
--t;
p[t].~T();
}
void push(const T& x) {
x.print(); // debug
p[t] = x;
++t;
}
int size() const { return t; }
bool empty() const { return 0 == t; }
bool full() const { return n == t; }
};
#endif
template<class T>
struct Frame {
static T* base;
T *beg, *tmp;
int len;
int retaddr;
Frame(T* beg, T* tmp, int len, int retaddr)
: beg(beg), tmp(tmp), len(len), retaddr(retaddr)
{}
void print() const { // for debug
printf("%4d %4d %d/n", int(beg-base), len, retaddr);
}
};
template<class T> T* Frame<T>::base;
#define TOP(field) stk.top().field
template<class T>
bool issorted(const T* a, int n)
{
for (int i = 1; i < n; ++i) {
if (a[i-1] > a[i]) return false;
}
return true;
}
template<class T>
void mymerge(const T* a, int la, const T* b, int lb, T* c) {
int i = 0, j = 0, k = 0;
for (; i < la && j < lb; ++k) {
if (b[j] < a[i])
c[k] = b[j], ++j;
else
c[k] = a[i], ++i;
}
for (; i < la; ++i, ++k) c[k] = a[i];
for (; j < lb; ++j, ++k) c[k] = b[j];
}
template<class T>
void MergeSort1(T* beg, T* tmp, int len) {
if (len > 1) {
int mid = len / 2;
MergeSort1(beg , tmp , mid);
MergeSort1(beg+mid, tmp+mid, len-mid);
mymerge(tmp, mid, tmp+mid, len-mid, beg);
memcpy(tmp, beg, sizeof(T)*len);
}
else
*tmp = *beg;
}
template<class T>
void MergeSort2(T* beg0, T* tmp0, int len0) {
int mid;
int cnt = 0;
Frame<T>::base = beg0;
MyStack<Frame<T> > stk;
stk.push(Frame<T>(beg0, tmp0, len0, 0));
while (true) {
++cnt;
if (TOP(len) > 1) {
mid = TOP(len) / 2;
stk.push(Frame<T>(TOP(beg), TOP(tmp), mid, 1));
continue;
L1:
mid = TOP(len) / 2;
stk.push(Frame<T>(TOP(beg)+mid, TOP(tmp)+mid, TOP(len)-mid, 2));
continue;
L2:
mid = TOP(len) / 2;
mymerge(TOP(tmp), mid, TOP(tmp)+mid, TOP(len)-mid, TOP(beg));
memcpy(TOP(tmp), TOP(beg), sizeof(T)*TOP(len));
} else
*TOP(tmp) = *TOP(beg);
int retaddr0 = TOP(retaddr);
stk.pop();
switch (retaddr0) {
case 0: return;
case 1: goto L1;
case 2: goto L2;
}
}
}
// This Implementation Use GCC's goto saved label value
// Very similiar with recursive version
template<class T>
void MergeSort3(T* beg0, T* tmp0, int len0) {
MyEntry:
int mid;
int retaddr;
Frame<T>::base = beg0;
MyStack<Frame<T> > stk;
stk.push(Frame<T>(beg0, tmp0, len0, 0));
#define Cat1(a,b) a##b
#define Cat(a,b) Cat1(a,b)
#define HereLabel() Cat(HereLable_, __LINE__)
#define RecursiveCall(beg, tmp, len) /
stk.push(Frame<T>(beg, tmp, len, (char*)&&HereLabel() - (char*)&&MyEntry)); /
continue; /
HereLabel():;
//~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
// retaddr == 0 是最外层的递归调用，
// 只要到达这一层时 retaddr 才为 0,
// 此时就可以返回了
#define MyReturn /
retaddr = TOP(retaddr); /
stk.pop(); /
if (0 == retaddr) { /
return; /
} /
goto *((char*)&&MyEntry + retaddr);
//~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
while (true) {
if (TOP(len) > 1) {
mid = TOP(len) / 2;
RecursiveCall(TOP(beg), TOP(tmp), mid);
mid = TOP(len) / 2;
RecursiveCall(TOP(beg)+mid, TOP(tmp)+mid, TOP(len)-mid);
mid = TOP(len) / 2;
mymerge(TOP(tmp), mid, TOP(tmp)+mid, TOP(len)-mid, TOP(beg));
memcpy(TOP(tmp), TOP(beg), sizeof(T)*TOP(len));
} else
*TOP(tmp) = *TOP(beg);
MyReturn;
}
}
template<class T>
void MergeSortDriver(T* beg, int len, void (*mf)(T* beg_, T* tmp_, int len_))
{
T* tmp = new T[len];
(*mf)(beg, tmp, len);
delete[] tmp;
}
#define test(a,n,mf) /
memcpy(a, b, sizeof(a[0])*n); /
MergeSortDriver(a, n, &mf); /
printf("sort by %s:", #mf); /
for (i = 0; i < n; ++i) printf("% ld", a[i]); /
printf("/n");
int main(int argc, char* argv[])
{
int n = argc - 1;
int i;
long* a = new long[n];
long* b = new long[n];
for (i = 0; i < n; ++i)
b[i] = strtol(argv[i+1], NULL, 10);
test(a, n, MergeSort1);
test(a, n, MergeSort2);
test(a, n, MergeSort3);
printf("All Successed/n");
delete[] a;
delete[] b;
return 0;
}
http://itjingyingjida.blog.sohu.com/161173529.html
一个算法设计技巧：递归转化成迭代。
在某些特定的情况下，递归的效率是非常低的，必须使用迭代来实现。 下面，将通过两个经典的递归例子，来感悟这两种算法设计方法的效率问题。
1.计算n的阶乘。
学过最基本程序设计知识的同学都知道，递归处理。
#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
long fact(int);
int main(void)
{ int n;
printf("请输入一个非负整数n:\n");
scanf("%d",&n);
if(n<0)
printf("error:n must>0.");
else
printf("%d的阶乘为%d.\n",n,fact(n));
system("pause");
return 0;
}
//计算递归的函数
long fact(int n)
{
if(n<=0)
return -1;
else
return n*fact(n-1);
}
2.计算Fabonacci数列。
基本定义：
f(n)=0,n=0;
f(n)=1,n=1;
f(n)=1,n=2；
f(n)=f(n-1)+f(n-2),（n>2）；递归定义。
递归实现：
#include <stdio.h>
//计算数列第n项
long fib(int n)
{
if (n == 1 || n == 2)
return 1;
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
printf("%ld\n", fib(n));
return 0;
}
一个程序，或者一个算法写好之后，我们自然而然地想到：好有没有更好的实现？？这个算法好么？？能改进么？？
对于这两个程序，效率确实很低下，必须使用更优秀的方式来实现。
一.先分析Fibonacci数列的计算。
1.感性的认知。
可以看到，f(1)和f(2)被重复计算了很多次，因此效率显得很低下。
2.理性分析。
这里的工作即将集中在程序运行时间的分析上面。
假设，计算第n项需要的时间为T(n)。
由递归关系式知道：T(n) = T(n - 1) + T(n - 2),n >= 3;T(n) = 1。这里的1代表1个CPU单位时间，即CPU计算一个基本语句所需要的时间。 例如，赋值语句，比较大小等等。
先定义一个函数，叫做生成函数，也叫母函数。
(1)Stirling公式的证明过程如下（来自维基百科）：
这个公式，以及误差的估计，可以推导如下。我们不直接估计n!，而是考虑它的自然对数：
这个方程的右面是积分的近似值（利用梯形法则），而它的误差由欧拉-麦克劳林公式给出：
其中Bk是伯努利数，Rm,n是欧拉-麦克劳林公式中的余项。取极限，可得：
我们把这个极限记为y。由于欧拉-麦克劳林公式中的余项Rm,n满足：
其中我们用到了大O符号，与以上的方程结合，便得出对数形式的近似公式：
两边取指数，并选择任何正整数m，我们便得到了一个含有未知数ey的公式。当m=1时，公式为：
当n趋于无穷大时，两边取极限，并利用沃利斯乘积，便可以得出ey（）。因此，我们便得出斯特灵公式：
这个公式也可以反复使用分部积分法来得出，首项可以通过最速下降法得到。把以下的和
用积分近似代替，可以得出不含的因子的斯特灵公式（这个因子通常在实际应用中无关）：
[编辑]收敛速率和误差估计
更加精确的近似公式为：
其中：
斯特灵公式实际上是以下级数（现在称为斯特灵级数）的第一个近似值：
当时，截断级数的误差等于第一个省略掉的项。这是渐近展开式的一个例子。它不是一个收敛级数；对于任何特殊值n，级数的准确性只在取有限个项时达到最大，如果再取更多的项，则准确性将变得越来越差。
阶乘的对数的渐近展开式也称为斯特灵级数：
在这种情况下，级数的误差总是与第一个省略掉的项同号，且最多同大小。
（3）数据分析
至此，数学分析已经臻于完美。
终于知道，自己为什么学数学了，呵呵 。 
int Fibo(int n){
int a1=1,a2=1; //前两项
int an ; //第n项
if(n==1||n==2) //n <= 2返回1
return 1 ;
for(int i=3;i<n;i++)
{
an=a1+a2;
a1=a2;
a2=an;
}
return an;
}
2.计算n的阶乘
#include <stdio.h>
int main()
{
int i,n,s=1;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
s*=i;
printf("%d!=%d\n",n,s);
return 0;
}
****不需要消解的递归
那种盲目的消解递归，不惜一切代价躲避递归，认为“递归的速度慢，为了提高速度，必须用栈或者其他的方法来消解”的说法是很片面的。如果一个递归过程用非递归的方法实现后，速度提高了，那只是因为递归做了一些无用功。假使一个递归过程必须要用栈才能消解，那么完全模拟后的结果根本就不会对速度有任何提升，只会减慢；如果你改完后速度提升了，那只证明你的递归函数写的有问题，如多了许多重复操作——打开关闭文件、连接断开数据库，而这些完全可以放到递归外面。可以在本质上是非递归的机器上实现递归过程这一事实本身就证明：为着实际目的，每一个递归程序都可以翻译成纯粹迭代的形式，但这包含着对递归栈的显式处理，而这些运算常常模糊了程序的本质，以致使它非常难以理解。
因此，是递归的而不是迭代的算法应当表述成递归过程。如汉诺塔问题等。汉诺塔问题的递归算法中有两处递归调用，并且其中一处递归调用语句后还有其他语句，因此该递归算法不是尾递归或单向递归。要把这样的递归算法转化为非递归算法，并没有提高程序运行的速度，反而会使程序变得复杂难懂，这是不可取的。也就是说，很多递归算法并不容易改写成迭代程序：它们本质上是递归的，没有简单的迭代形式。这样的递归算法不宜转化为非递归算法。
说到底，在我们选择算法时应该全面分析算法的可行性、效率、代码优化。在综合了算法的各个因素后，选择合适的算法来编写程序，这样的程序才会达到优化的效果。
四.结束语
数学，是一门艺术
