2-3树
2-3树
定义
一棵2-3查找树或为一棵空树,或由以下结点组成:
- 2-结点,含有一个键(及其对应的值)和两条链接。
- 3-结点,含有两个键(及其对应的值)和三条链接。
2-结点、3-结点的性质均与BST相同或相似。
搜索
与二叉搜索树类似。
插入
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向2-结点中插入新键
只需要将键插入2-结点,使之变成3-结点。
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向一颗只含有3-结点的树中插入新键
在考虑一般情况之前,先假设我们需要向一棵只含有一个3-结点的树中插入一个新键。这棵树中由两个键,所以在它唯一的结点中已经没有可插入新键的空间了。为了将新键插入,我们先临时将新键存入该结点中,使之成为一个4-结点。它很自然地拓展了以前的结点并含有3个键和4条链接。然后将4-结点转换为由3个2-结点组成的2-3树,其中中间的键所在2-结点成为了其他两个键所在结点的父结点。这是2-3树生长的基本方式。
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向一个父结点为2-结点的3-结点插入新键
首先,向刚才一样,构造一个临时的4-结点并将其分解,然后将中键移动至原来的父结点中。此时树仍然是有序的,因为中键被移动到父结点中去了。同时,树仍然是完美平衡的,插入后所有的空链接到根节点的距离仍然相同。
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向一个父结点为3-结点的3-结点中插入新键
我们再次和刚才一样构造一个临时的4-结点并分解它,然后将它的中键插入到它的父结点中。但父结点也是一个3-结点,因此我们再用这个中键构造一个新的临时4-结点,然后在这个结点上进行相同的变换,即分解这个父结点并将它的中键插入到它的父节点中去。推广至一般情况,我们就这样一直向上不断分解临时的4-结点并将中键插入到更高层的父节点,直到遇到一个2-结点并将它替换为一个不需要继续分解的3-结点,或者是到达3-结点的根。
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分解根结点
如果从插入结点到根结点的路径上全部都是3-结点,我们的根结点最终变成一个临时的4-结点,此时我们将临时的4-结点分解为3个2-结点,使得树高加1。
局部变换和全局性质
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2-3树插入算法的根本在于这些变换都是局部的:除了相关的结点和链接之外不必修改或检查树的其他部分。
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这些局部变换不会影响到树的全局有序性和平衡性:任意空链接到根结点的路径长度都是相等的。
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插入情况汇总: