滑动窗口的最大值问题
给出一个序列，要求找出滑动窗口中的最大值，比如：
# 序列： 2, 6, 1, 5, 3, 9, 7, 4
# 窗口大小： 4
[2, 6, 1, 5], 3, 9, 7, 4 => 6
2, [6, 1, 5, 3], 9, 7, 4 => 6
2, 6, [1, 5, 3, 9], 7, 4 => 9
2, 6, 1, [5, 3, 9, 7], 4 => 9
2, 6, 1, 5, [3, 9, 7, 4] => 9
# 期望结果： [6, 6, 9, 9, 9]
并要求算法的时间复杂度为 O(n)。
算法思路
稍加观察便能发现滑动窗口其实就是一个队列：窗口每滑动一次，相当于出列一个元素，并入列一个元素。因此这个问题实际上也可以看作是要求设计一个 pop(), push(), max() 均为 O(1) 的队列。如果能设计出这样的队列类型，那么在窗口滑动的过程中不断地入列出列，则最终只需要 O(n) 的时间便能找到所有滑动窗口的最大值。
pop() 和 push() 做到 O(1) 很简单，max() 就没那么容易了。随着元素的进队，我们可以记录元素之间的大小关系，维护一个最大值记录，但当队首元素弹出时，已有的大小关系就会被破坏——被弹出的元素可能就是最大值，这样就需要重新开始评估新的最大值。但若我们只从队末弹出呢？这样便不会破坏已记录的剩余元素的最大值。这种只在一端进出的数据结构就是栈。只要在进栈的同时维护一个最大值栈，我们就可以轻松得到一个 pop(), push(), max() 均为 O(1) 的栈。比如令 2, 7, 4 依次进栈，并同时维护一个当前时刻的最大值栈 2, 7, 7，弹出一个元素的时候也同时弹出最大值栈中的元素，这样我们就可以在 O(1) 的时间内找到一个栈的 max。
我们知道，使用两个栈可以构造一个队列，即一个栈用于 push，一个栈用于 pop，因此我们可以使用两个 max() 为 O(1) 操作的栈来构造一个 max() 为 O(1) 的队列。
这是因为一个滑动窗口中的元素要么全在一个栈中，此种情况下只需 O(1) 的时间便可得到该滑动窗口的最大值；要么一部分在一个栈中，一部分在另一个栈中，而从两个栈中找到各自的最大值只需要 O(1) 的时间，再比较两个部分各自的最大值，便可以得到该滑动窗口的最大值，因此此种情况下也只需要 O(1) 的操作就可以得到该滑动窗口的最大值。
以序列 2, 6, 1, 5, 3, 9, 7, 4 为例，设其滑动窗口的大小为 4，记用于出列的栈为 stack_out，用于入列的栈为 stack_in。首先得到第一个滑动窗口，即入列 4 个元素：
stack_out: stack_in:
(5, 6) <- Top
None (1, 6)
(6, 6)
(2, 2) <- Bottom
使用 (value, max) 表示当前要入栈的元素 value 以及当前的最大值 max。此时只需要读出 stack_in 栈顶元素的最大值即为当前滑动窗口的最大值。
向右滑动一格即表示将 2 出列，将 3 入列：
stack_out: stack_in:
<- Top
(6, 6)
(1, 5)
(5, 5) (3, 3) <- Bottom
此时便得到了第二个滑动窗口。它的元素被分置在两个栈中：有 3 个元素在 stack_out 中、 1 个元素在 stack_in 中。而我们可以用 O(1) 的时间从 stack_out 中找到 3 个元素这个部分中的最大值，同时用 O(1) 的时间从 stack_in 中找到另一部分的最大值。因此将 stack_out 与 stack_in 栈顶的最大值相比较即可得到第二个滑动窗口的最大值。也就是说当一个滑动窗口的元素被分散在两个栈中时，我们需要 O(1) + O(1) + O(1) = O(1) 的时间找到该滑动窗口的最大值。三个 O(1) 依次为：从 stack_out 找到第一部分最大值的时间、从 stack_in 中找到另一部分最大值的时间、比较两个最大值得到最终的最大值的时间。
依次处理下去，便可得到我们想要的结果。
时间复杂度
我们在前文提到「设计一个 pop(), push(), max() 均为 O(1) 的队列」。但似乎上述算法中 pop() 的时间复杂度不是 O(1)，因为使用两个栈实现的队列类型在出列时会遇到以下两种情形：
- 当用于出列的栈
stack_out不空时，可以直接弹出stack_out的栈顶元素以出列； - 当用于出列的栈
stack_out为空时，我们首先需要将用于入列的栈stack_in中的元素全部转移到stack_out中，然后再弹出其栈顶元素以出列。
显然情形 1) 是 O(1) 的，但是情形 2) 是 O(m) 的（记 m 为每个栈的大小，也即滑动窗口的大小）。如果我们所设计的队列的 pop() 可能不是 O(1) 的，那么算法的最终时间复杂度还会是 O(n) 吗？
我们注意到只有当 stack_out 为空（即情形 2）时，才会需要 O(m) 的时间出列一个元素。因此若将算法的最终时间复杂度记为 O(nm)，虽然正确，但这样做未免太过悲观，毕竟情形 2 出现的次数相对较少，而其它时间又都是 O(1) 的。所以我们希望可以得到一个更小的时间复杂度上界。一个比较简单的想法是，在遇到情形 2 之前，我们首先需要做 m 次出栈操作将 stack_out 清空，然后才会发生情形 2，也就是将 stack_in 中的 m 个元素移入到 stack_out 中，这一步操作就是我们的“罪魁祸首”，但我们可以把这个“罪名”分别安到在此之前的 m 次用时为 O(1) 的出栈操作上，即将它之前的 m 次出栈操作看作是 O(2) 的，如此一来就除掉了这个「罪魁祸首」，代价则是所有的出栈操作都变成了 O(2)，不过好在也是 O(1) 的。因此我们的 pop() 操作的时间复杂度还是 O(1) 的，算法最终的时间复杂度为 O(n)。这种时间复杂度也被称为均摊时间复杂度——我们将一个代价比较高的操作转移到其它操作上，从而降低所有操作的平均时间复杂度。这种平均时间复杂度考虑的是一系列操作的平均时间复杂度，而不是单个操作的时间复杂度。
当然我们也可以从另外一个角度来考虑该算法的时间复杂度：即考虑每个元素进栈出栈的次数。我们使用了两个栈来实现了这个队列，从算法开始到结束，每个元素分别先从 stack_in 进栈、出栈，然后再从 stack_out 进栈、出栈，而这些操作都是 O(1) 的，因此我们最终只需要 O(4n) 的时间来完成所有操作，因此该算法的时间复杂度为 O(n)。
P.S.
如果在实现上有疑惑，不妨看看下面给出的这种队列类型的 Python 代码。在该代码中，入队操作被命名为 append，而不是 push，其目的是与 Python 标准库中队列的方法名保持一致。
from typing import List
from collections import namedtuple
Node = namedtuple('Node', ['value', 'max'])
class MaxQueue():
def __init__(self, stack_len: int) -> None:
self.stack_in = []
self.stack_out = []
self.stack_len = stack_len
def pop(self) -> int:
if not self.stack_out:
if not self.stack_in:
raise IndexError('pop from an empty queue')
else:
self._move_in_to_out()
return self.stack_out.pop().value
def append(self, value: int) -> None:
if len(self.stack_in) >= self.stack_len:
if self.stack_out:
raise IndexError('the queue is full')
else:
self._move_in_to_out()
self._push_to_stack(self.stack_in, value)
def max(self) -> int:
if self.stack_in and self.stack_out:
return max(self.stack_in[-1].max, self.stack_out[-1].max)
if self.stack_in:
return self.stack_in[-1].max
if self.stack_out:
return self.stack_out[-1].max
def _move_in_to_out(self) -> None:
while self.stack_in:
self._push_to_stack(self.stack_out,
self.stack_in.pop().value)
def _push_to_stack(self, stack: List[Node], value: int) -> None:
if stack:
stack.append(Node(value, max=max(value, stack[-1].max)))
else:
stack.append(Node(value, max=value))
