圆方树＆仙人掌学习笔记

仙人掌

定义

任意一条边只会出现在一个环里面的无向图（不一定连通）

解决工具：（狭义）圆方树

定义

把原图分成两类点，一类是圆点，一类是方点。如果一条边在仙人掌中不属于任何一个环中，那么它直接圆方树中的两个圆点。对于仙人掌中的任意一个环，每个环上的点在圆方树上对应的圆点向这个环对应的方点连边。

它把原图变成了一棵树。如何证明是一棵树：分别证明连通性和$|E|=|V|-1$即可。

构建

对于原图割边直接连圆圆边，对于环则用Tarjan把每个环抠出来即可，环的起点即$\rm dfn$序最小的点。具体看代码：

void tarjan(int x, int p)
{
	low[x] = dfn[x] = ++ ind;
	for (int i = hd[x]; i; i = nxt[i])
	{
		int y = to[i], z = w[i]; if (i == p || i == (p ^ 1)) continue;
		if (!dfn[y]) pre[y] = z, f[y] = x, tarjan(y, i), low[x] = min(low[x], low[y]);
		else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
		if (low[y] > dfn[x]) g.add(x, y, z), g.add(y, x, z); // 圆圆边
	}
	for (int i = hd[x]; i; i = nxt[i])
	{
		int y = to[i], z = w[i];
		if ((dfn[y] > dfn[x]) && (f[y] != x)) Add(x, y, z); // 新建一个方点，连圆方边；此处x即为环的起点，而y是终点；通过不断跳fa即可找出当前环的所有点
	}
	return;
}

性质

• 没有方方边
• 是一颗无根树，形态与根的选取无关

例题

仙人掌上两点最短路

建圆方树。圆圆边连原边权，圆方边分类讨论：若是环的起点，连边权为$0$；否则连该点再环上到环的起点的最短路。

建出圆方树后，找到$u,v$的$\rm {lca}$为$p$，同样分类讨论：

• 若$p$为圆点，则答案就是树上两点的距离
• 若$p$为方点，则找到与$p$相连的两点$a,b$且分别是$u,v$的祖先。显然${\rm{dis}}(a,u)$和${\rm{dis}}(b,v)$也可以直接求，而${\rm{dis}}(a,b)$在环上直接算即可。

仙人掌上直径

建出圆方树。记$f_x$表示在以$x$为根的子树中以$x$为起点的最长链长度。

对于圆圆边，同树形dp的直径求法，有

$$res=\max\{f_u+f_v+1\}$$

$$f_u=\max\{f_v+1\}$$

对于圆方边，我们把环上的点拿出来（断环成链），对环dp后贡献到环的起点上即可。记$len$为环长，$x$为起点，有

$$res=\max\{i-j+f_i-f_j\}(i-j\leq \lfloor\frac{len}{2}\rfloor)$$

$$f_x=\max\{f_y+{\rm dis}(x,y)\}$$

总结

仙人掌上dp有点类似于基环树dp，即圆圆边就按照树上的方法正常dp，对于一个环就用整个环上的dp值更新起点的dp值，此时一般可以断环成链。

广义圆方树

定义/性质

（图源yyb's blog）

只有圆方边，对于每个点双新建一个方点，最多只有$2n-1$个点的一棵树。代码：

void tarjan(int x, int p)
{
	dfn[x] = low[x] = ++ ind; q[ ++ tt] = x;
	for (int i = hd[x]; i; i = nxt[i])
	{
		int y = to[i]; if (i == p || i == (p ^ 1)) continue;
		if (!dfn[y])
		{
			tarjan(y, i), low[x] = min(low[x], low[y]);
			if (low[y] >= dfn[x])
			{
				now ++ ; int o;
				do {o = q[tt]; tt -- ; g.add(now, o), g.add(o, now);} while (o != y); // 注意不是o != x
				g.add(now, x), g.add(x, now);
			}
		}
		else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
	}
	return;
}

例题

CF487E

看到“$u$到$v$的所有路径”，想到建圆方树。将方点的权值表示为点双中的最小圆点的权值，那么直接树剖套线段树即可。修改的话可以对每个方点维护一个$\rm multiset$维护与之相邻的所有圆点，每修改一个圆点就遍历与之相邻的所有方点修改即可。

但这样会被菊花图卡成$n^2$的，考虑优化。我们让方点的$\rm multiset$只存儿子圆点的权值，那么修改一个圆点时，就只需要改它父亲的$\rm multiset$。询问时只需要特判当$\rm lca$为方点时，要对其父亲的权值取$\rm min$。复杂度$\mathcal{O}(n\log^2 n)$。

总结

广义圆方树的应用场景一般有：

• 和割点有关
• 和路径的并有关（原图上$u$到$v$的所有路径的并可以用圆方树上$u$到$v$的路径表示，当然这要求题目所求是可并的，如取$\rm min$等，不能是加减之类的运算）。这是因为$u$到$v$路径上遇到的每个点双都有若干种走法（如环就有两种），把这个点双的信息表示在方点上即可表示这些路径的并。

解题思路有：

• 和其他数据结构结合（虚树、树剖等）
• 分别给圆点和方点赋上合适的点权，方点一般根据题目的性质赋上和该环上的所有圆点有关的点权