[洛谷] P2476 [SCOI2008]着色方案 & P4448 [AHOI2018初中组]球球的排列

Description

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Solution

P2476

注意到每个位置要填一种颜色，要求是不能有相邻的颜色。于是我们设\(s[i]\)为\(a[i]\)前缀和，\(dp[i][j]\)表示用前\(i\)种颜色填了前\(s[i]\)个位置，恰有\(j\)组相邻位置同色的方案数。再枚举\(x,y\)，表示将第\(i+1\)种颜色分成\(x\)组，其中有\(y\)组插入之前相邻的同色位置中间，\(x-y\)组插空放，不相邻。则\(dp[i][j]\rightarrow{dp[i+1][j-y+a[i+1]-x]}\)。

转移系数就是把三步方案数乘起来：

• 将第\(i+1\)种颜色分成\(x\)组：\(\dbinom{a[i+1]-1}{x-1}\)
• 其中有\(y\)组插入之前相邻的同色位置中间：\(\dbinom{j}{y}\)
• \(x-y\)组插空放，不相邻：\(\dbinom{s[i]+1-j}{x-y}\)（不能放在之前相邻的同色位置中间）

初始化\(dp[1][a[1]-1]=1\)，答案为\(dp[n][0]\)，时间复杂度为\(O(n^3)\)

P4448

我们把每个\(a[i]\)都除以它的平方因子后，原问题等价于有多少种排列方式，使得没有相邻位置的\(a[i]\)相同。

设每个不同值的\(a[i]\)有\(s[i]\)个。考虑到P2476是每个位置任意染颜色，而P4448是先给每个位置染上颜色后，再进行任意排列。这两个问题不同之处在与，前者每种颜色内部之间不能区分顺序，而后者可以。所以直接按照前者跑出\(dp[n][0]\)后，再乘上\(\prod{s[i]!}\)即可。

Code(P2476)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;

int n, a[20], s[20], dp[20][80], c[80][80];

int read()
{
	int x = 0, fl = 1; char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') fl = -1; ch = getchar();}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0'; ch = getchar();}
	return x * fl;
}

int main(){
	n = read();
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) a[i] = read(), s[i] = s[i - 1] + a[i];
	c[0][0] = 1; for (int i = 1; i <= 75; i ++ ) {c[i][0] = 1; for (int j = 1; j <= 75; j ++ ) c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;}
	dp[1][a[1] - 1] = 1;
	for (int i = 1; i <= n - 1; i ++ )
	{
		for (int j = 0; j <= s[i] - 1; j ++ )
		{
			if (!dp[i][j]) continue;
			for (int x = 1; x <= a[i + 1]; x ++ )
				for (int y = 0; y <= min(j, x); y ++ )
					dp[i + 1][j - y + a[i + 1] - x] = (dp[i + 1][j - y + a[i + 1] - x] + 1ll * dp[i][j] * c[j][y] % mod * c[a[i + 1] - 1][x - 1] % mod * c[s[i] + 1 - j][x - y] % mod) % mod;
		}
	}
	printf("%d\n", dp[n][0]);
	return 0;
}