高斯消元（模板及bitset优化异或方程）

模板

int nw = 1; // 处理到第几行
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) // 枚举第i列（同一个主元）
{
    int pos = nw;
    for (int j = nw + 1; j <= n; j ++ ) if (fabs(a[j][i]) > fabs(a[pos][i])) pos = j; // 找到系数最大的一项，尽可能防止除0，显然在后面去找
    if (a[pos][i] == 0) continue; // 这一列全是0，可能多解，也可能无解
    for (int j = 1; j <= n + 1; j ++ ) swap(a[nw][j], a[pos][j]);
    for (int j = 1; j <= n; j ++ ) // 消所有不等于nw的行
    {
        if (nw == j) continue;
        ld tmp = a[j][i] / a[nw][i]; // 用第nw行消第j行
        for (int k = i + 1; k <= n + 1; k ++ ) a[j][k] -= a[nw][k] * tmp; // 枚举列，特别记得是从$i+1$到$n+1$！
    }
    nw ++ ;
}
if (nw < n + 1)
{
    while (nw < n + 1) if (a[nw ++ ][n + 1] != 0) {puts("-1"); return 0;} // 无解
    puts("0"); return 0; // 无数解
}
// 注意解其实是a[i][n + 1] / a[i][i]!

异或方程组

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
    if (!a[i][i])
    {
	for (int j = i + 1; j <= n; j ++ )
	{
	    if (a[j][i])
	    {
		swap(a[i], a[j]);
		break;
	    }
	}
    }
    if (!a[i][i]) r ++ ; // 自由元，即这个变量可以随意取0/1
    for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (a[j][i] && j != i) a[j] ^= a[i];
}

要讲一下\(a[x][y]\)是如何构造的。

其实就是按照题目的意思来。比如某题要求

\[\displaystyle\left(\bigoplus_{e(u,v)\in E}l_v\right)\oplus l_u=1(l_u=0/1) \]

那么对于每个\(x\)，首先\(a[x][x]=1\)（考虑自己），然后\(\forall{e(x,y)\in{E}},a[x][y]=1\)（考虑\(y\)）。最后，\(a[x][n+1]=1\)（\(a[x][n+1]\)存的是第\(x\)个方程的答案，注意不要异或\(a[i][i]\)）

注意到有些异或方程要求最优解，但有一些自由元，就可以\(dfs\)，爆枚这些自由元的取值，更新答案。