BSGS&EXBSGS

BSGS

求最小的非负整数$x$满足$a^x\equiv{b}\pmod{p}$（$\gcd(a,p)=1$）

$$a^x\equiv{b}\pmod{p}$$

令$x=ti-k(t=\sqrt{p},k\in[0,t-1])$

$$a^{ti-k}\equiv{b}\pmod{p}$$

$$a^{ti}\equiv{b}*a^k\pmod{p}$$

先枚举$k$，将$b*a^k$的值存入$hash$表

再枚举$i\in[1,t]$，若$(a^t)^i$的值出现了，则$x=i*t-k$

EXBSGS

求最小的非负整数$x$满足$a^x\equiv{b}\pmod{p}$

• $b=1,x=0$
• $a=0,b=0,x=1$
• $a=0,b\ne{0}$无解，否则

$$a*a^{x-1}\equiv{b}\pmod{p}$$

设$d=(a,p)$，若$d\nmid{b}$无解，否则

$$\frac{a}{d}*a^{x-1}\equiv{\frac{b}{d}}\pmod{\frac{p}{d}}$$

令$A=a,B=\frac{b}{d},C=\frac{a}{d},P=\frac{p}{d}$，则

$$CA^{x}\equiv{B}\pmod{P}$$

递归即可，当$d=1$时可直接$BSGS$

Code

int bsgs(int a, int b, int p, int c, int k)
{
	hs.clear();
	int q = 1, t = (int)(sqrt(p)) + 1;
	for (int i = 0; i < t; i ++ )
	{
		hs[1ll * q * b % p] = i;
		q = 1ll * q * a % p;
	}
	int cnt = q;
	q = 1ll * q * c % p;
	for (int i = 1; i <= t; i ++ )
	{
		if (hs.find(q) != hs.end()) return k + i * t - hs[q];
		q = 1ll * q * cnt % p;
	}
	return -1;
}

int exbsgs(int a, int b, int p)
{
	a %= p, b %= p;　// 特别注意1
	if (b == 1) return 0;
	if (!a)
	{
		if (!b) return 1;
		return -1;
	}
	int k = 0, A = a, B = b, C = 1, P = p, d = gcd(A, P);
	while (d != 1)
	{
		if (B % d) return -1;
		B /= d, P /= d, C = 1ll * C * (A / d) % P, k ++ ; // 特别注意2（除了d都是大写）
		d = gcd(A, P);
		if (C == B) return k; // 特别注意3
	}
	return bsgs(A, B, P, C, k);
}