Dilworth定理

内容

$Dilworth$定理是定义在偏序集上的。所谓偏序集，就是对于一个集合$A$，给定比较关系$\rm p$（如$\leq,\ge$等），若其满足以下三个条件，则$\rm p$和$A$被称为一个偏序集：

• 自反性：$a\ \text{p}\ a$
• 反对称性：若$a\ \text{p}\ b,b\ \text{p}\ a$，那么$a=b$
• 传递性：若$a\ \text{p}\ b,b\ \text{p}\ c$，则$a\ \text{p}\ c$

我们定义：

• 链：指一个偏序集合$S\subseteq A$，它的任意两个元素都可比。（在偏序集中可以看成是$DAG$上的一条路径上的一些元素，这些元素可能只是这条路径上不连续的一部分；在图论定义的$\rm DAG$上要求是一条连续路径）

• 反链：指一个集合$S'\subseteq A$，它的任意两个元素都不可比。（这个集合里的任何两个元素无法联通）

• 最小链覆盖：用一些链去覆盖一个$\rm DAG$，求最少的链数量（一个点也算一条链）；分为两种：链可以相交（可以重复经过某个点）或者链不可以相交（不可以重复经过某个点，包括起点终点）

那么有

• 对于一个偏序集，其最少不可重链覆盖数等于其最大反链的大小。
• 对于一个偏序集，其最少反链覆盖数等于其最大链的大小。
• $\rm DAG$的最小可重链覆盖数等于最大反链；因为可重链覆盖不好求解，所以我们把$\rm dag$做一个传递闭包（即若原图中$a$到$b$有边，$b$到$c$有边，那么新图中$a$到$c$有边）后转化为不可重复的链，就可以用二分图匹配求解，且此时有最大反链等于最大点独立集。

应用

P3974 [TJOI2015]组合数学​

在本题中，将每个格子拆为其财宝个数个元素，我们定义$a\ \text{p}\ b$指元素$a$在网格图中可以到达$b$。注意，同一格子中的元素是不能互相到达的（一次只能拿一个）

自然地，链就可以表示从左上角到右下角的一条路径，反链则是从右上角到左下角。

设$dp_{i,j}$为以$(i,j)$为左下角的矩形中的最长反链长（这就是答案），那么

$$dp_{i,j}=max\{dp_{i-1,j},dp_{i,j+1},{dp_{i-1,j+1}+a_{i,j}}\}$$

前两个是继承关系（矩形的并），后一个是包含$(i,j)$的最长反链长，因为$(i,j)$和$(i-1, j-1)$在一个反链。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

int t, n, m, a[1005][1005];

ll dp[1005][1005];

int read()
{
	int x = 0, fl = 1; char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') fl = -1; ch = getchar();}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = x * 10ll + ch - '0'; ch = getchar();}
	return x * fl;
}

int main()
{
	t = read();
	while (t -- )
	{
		n = read(), m = read();
		for (int i = 1; i <= n; i ++ )
			for (int j = 1; j <= m; j ++ )
				a[i][j] = read();
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		for (int i = 1; i <= n; i ++ )
			for (int j = m; j >= 1; j -- )
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j + 1] + a[i][j], max(dp[i - 1][j], dp[i][j + 1]));
		printf("%lld\n", dp[n][1]);
	}
	return 0;
}