[Luogu] CF280C Game on Tree

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[Description]

给出一棵树，每次随机等概率选择一未染黑的点，将它及其子树染黑。问期望多少次操作可以将树全部染黑。

[Solution]

设\(dp_i\in\{0,1\}\)表示点\(i\)被选中的次数。那么答案即为\(E(\sum{dp_i})=\sum{E(dp_i)}\)

我们考虑随机生成一个操作序列，找到序列中第一个未被染色的节点，并染色这个节点和它的子树中的所有节点，重复这个操作，直到序列中所有节点都被染色。

那么 \(i\) 号节点被选中的前提就是在序列中， \(i\) 号节点的祖先都在 \(i\) 号节点的后面。否则，就会在选择 \(i\) 号节点之前选择它的祖先 , 并且 \(i\) 节点就会被染色，而不会被选中。

又因为\(i\)的祖先有\(dep_i-1\)个，所以它排在所有祖先之前的概率为\(\frac{1}{dep_i}\)，它的分值为\(1\)。

故答案为\(\sum{\frac{1}{dep_i}}\)。