背包相关问题总结

至多与恰好

如果问恰好装\(v\)，则初始化\(dp[]=-INF,dp[0]=0\)。二维\(dp\)则初始化\(dp[][]=-INF,dp[0][0]=0\)。（这样就能是那些能够恰好装满背包的物品的值为正数，而那些不能恰好装满背包的物品的值就为负数。）

如果问至多装\(v\)，则初始化\(dp[]=0\)。

一定要注意，要求恰好时，分组背包枚举某一组的元素之前，要再设\(dp[j]=-INF\)。（\(INF\)的值要够小！）

二维\(dp\)时（要求恰好），最开始的\(max\)也可能要设\(-INF\)（除了第一次时）

01背包和完全背包枚举顺序

01背包是倒序，完全背包是顺序。

（若倒序枚举，\(j\)只会一直减小，所以我们总是用第\(i-1\)个阶段向第\(i\)个阶段转移，是01背包。如果是正序，那么\(j\)有可能被\(j-v_i\)更新。\(j\)增大到\(j+v_i\)时，又可能被\(j\)更新。这时两个都处于第\(i\)个阶段的状态之间发生了转移，相当于第\(i\)个物品被使用了两次，是完全背包。）

分组背包枚举顺序

先枚举是哪个组\(i\)，再倒序枚举体积\(j\)，最后再枚举每组组内元素\(k\)。

（注意枚举顺序。\(i\)是阶段，\(i\)与\(j\)共同构成状态，而\(k\)是决策。）

多重背包枚举顺序

思想：转化为共有\(\sum\limits_{i=1}^{n}k_i\)个物品的01背包问题（\(k_i\)是每种物品的个数）。

先枚举是哪种物品\(i\)，再枚举\(i\)的个数\(j\)，最后再倒序枚举体积\(k\)，做01背包dp[k] = max(dp[k], dp[k - w[i]] + c[i])。

注意res = max{dp[0 ~ v]}

二进制拆分法（优化多重背包）

原来的多重背包时间复杂度是\(O(V\sum\limits_{i=1}^nk_i)\)的，效率较低。

我们可以把数量为\(k_i\)的第\(i\)种物品拆成\(p+2\)个物品（\(p\)是满足\(2^0+2^1+2^2+...+2^p\le{k_i}\)的最大整数）。

它们的体积分别为\(2^0*w_i,2^1*w_i,...,2^p*w_i,r_i*w_i\)（\(r_i=k_i-\sum\limits_{i=0}^p2^i\)）。

那么这\(p+2\)个物品可以且只能凑成\(0\sim{k_i}*w_i\)之间所有能被\(k_i\)整除的数，这等价于原问题中体积为\(w_i\)的物品可以使用\(0\sim{k_i}\)次。这时的复杂度是\(O(V\sum\limits_{i=1}^nlog(k_i))\)。