背包相关问题总结

至多与恰好

如果问恰好装$v$，则初始化$dp[]=-INF,dp[0]=0$。二维$dp$则初始化$dp[][]=-INF,dp[0][0]=0$。（这样就能是那些能够恰好装满背包的物品的值为正数，而那些不能恰好装满背包的物品的值就为负数。）

如果问至多装$v$，则初始化$dp[]=0$。

一定要注意，要求恰好时，分组背包枚举某一组的元素之前，要再设$dp[j]=-INF$。（$INF$的值要够小！）

二维$dp$时（要求恰好），最开始的$max$也可能要设$-INF$（除了第一次时）

01背包和完全背包枚举顺序

01背包是倒序，完全背包是顺序。

（若倒序枚举，$j$只会一直减小，所以我们总是用第$i-1$个阶段向第$i$个阶段转移，是01背包。如果是正序，那么$j$有可能被$j-v_i$更新。$j$增大到$j+v_i$时，又可能被$j$更新。这时两个都处于第$i$个阶段的状态之间发生了转移，相当于第$i$个物品被使用了两次，是完全背包。）

分组背包枚举顺序

先枚举是哪个组$i$，再倒序枚举体积$j$，最后再枚举每组组内元素$k$。

（注意枚举顺序。$i$是阶段，$i$与$j$共同构成状态，而$k$是决策。）

多重背包枚举顺序

思想：转化为共有$\sum\limits_{i=1}^{n}k_i$个物品的01背包问题（$k_i$是每种物品的个数）。

先枚举是哪种物品$i$，再枚举$i$的个数$j$，最后再倒序枚举体积$k$，做01背包dp[k] = max(dp[k], dp[k - w[i]] + c[i])。

注意res = max{dp[0 ~ v]}

二进制拆分法（优化多重背包）

原来的多重背包时间复杂度是$O(V\sum\limits_{i=1}^nk_i)$的，效率较低。

我们可以把数量为$k_i$的第$i$种物品拆成$p+2$个物品（$p$是满足$2^0+2^1+2^2+...+2^p\le{k_i}$的最大整数）。

它们的体积分别为$2^0*w_i,2^1*w_i,...,2^p*w_i,r_i*w_i$（$r_i=k_i-\sum\limits_{i=0}^p2^i$）。

那么这$p+2$个物品可以且只能凑成$0\sim{k_i}*w_i$之间所有能被$k_i$整除的数，这等价于原问题中体积为$w_i$的物品可以使用$0\sim{k_i}$次。这时的复杂度是$O(V\sum\limits_{i=1}^nlog(k_i))$。