ACM学习历程—BZOJ 2115 Xor(dfs && 独立回路 && xor高斯消元)

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2115

题目大意是求一条从1到n的路径，使得路径xor和最大。

可以发现想枚举1到n的所有路径是不行的。

首先有个结论：一个无向连通图G中有且仅有M-N+1个独立回路。

独立回路是指任意一个都不能由其他回路构成。

引用一段数学归纳法证明：

“M=N-1时，树，结论成立

设M=K时结论成立，当M=K+1时，任取G中一条边e，G-e中有K-N+1个独立回路，且

任取一个包含e的回路C，显然独立于之前的回路

任意两个包含e的回路C1与C2，C12=C1+C2是G-e的回路，C2不独立

故能且仅能增加一个包含e的独立回路

从而G中恰有(K+1)-N+1个独立回路，证毕”

 

有了这个就会发现，如果已经有一条1到n的路径，那么通过与上述的独立回路线性组合，就能表示所有1到n的路径。

 

然后通过dfs可以构造所有独立回路：记录dfs过程中xor的和，如果遇到访问过的节点，说明构成了一个环，也就是独立回路。

此处想了一个优化，标记一个时间戳，只有遍历到时间戳小于等于本身的结点，才能构成一个回路。这样应该就能正好得到（m-n+1)个独立回路了。

然后接下来对独立回路得到的xor和进行xor高斯消元，得到一组向量基。

然后由于向量基互相线性无关，而且对于一个向量基k，它总大于比它小的基的线性组合。

然后ans一开始赋值为p[n]，表示1到n的某一条路径。

然后ans = max(ans, ans^s[i])来更新ans。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <queue>
#include <vector>
#define LL long long

using namespace std;

const int maxN = 50005;
const int maxM = 100005;
int n, m;
LL p[maxN], s[maxM];
int top, vis[maxN];

//链式前向星
struct Edge
{
    int to, next;
    LL val;
}edge[maxM*2];

int head[maxN], cnt;

void addEdge(int u, int v, LL w)
{
    edge[cnt].to = v;
    edge[cnt].next = head[u];
    edge[cnt].val = w;
    head[u] = cnt;
    cnt++;
}

void initEdge()
{
    memset(head, -1, sizeof(head));
    cnt = 0;
}


void input()
{
    initEdge();
    int u, v;
    LL w;
    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {
        scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);
        addEdge(u, v, w);
        addEdge(v, u, w);
    }
    top = 0;
    memset(vis, -1, sizeof(vis));
}

void dfs(int now, int fa, int t)
{
    vis[now] = t;
    int k;
    for (int i = head[now]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
        k = edge[i].to;
        if (k == fa) continue;
        if (vis[k] != -1)
        {
            if (vis[k] <= t)
                s[top++] = p[now]^p[k]^edge[i].val;
        }
        else
        {
            p[k] = p[now]^edge[i].val;
            dfs(k, now, t+1);
        }
    }
}

//xor高斯消元求线性基
//时间复杂度O(63n)
int xorGauss(int n)
{
    int row = 0;
    for (int i = 62; i >= 0; i--)
    {
        int j;
        for (j = row; j < n; j++)
            if(s[j]&((LL)1<<i))
                break;
        if (j != n)
        {
            swap(s[row], s[j]);
            for (j = 0; j < n; j++)
            {
                if(j == row) continue;
                if(s[j]&((LL)1<<i))
                    s[j] ^= s[row];
            }
            row++;
        }
    }
    return row;
}

void work()
{
    p[1] = 0;
    dfs(1, 0, 0);
    int row;
    row = xorGauss(top);
    LL ans = p[n];
    for (int i = 0; i < row; ++i)
        ans = max(ans, ans^s[i]);
    printf("%lld\n", ans);
}

int main()
{
    //freopen("test.in", "r", stdin);
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    {
        input();
        work();
    }
    return 0;
}