P3706 [SDOI2017]硬币游戏

【题意】

给定n个小朋友每个人有一个01串，游戏规则如下，每次在一个生成的串的末尾随机生成0/1，当出现了某个小朋友手里的串的时候游戏结束，该小朋友获胜，求每个小朋友获胜的概率是多少

【分析】

这道题目其实就是P6125 [JSOI2009]有趣的游戏的加强版

考虑有趣的游戏这道题的方式为AC自动机dp，上面有很多无用的点也被计算在内了，时间复杂度无法接受‘

所以我们继续考虑别的方式

很明显，游戏结束时的串一定是以一个小朋友手里的串结尾的

我们想去通过构造串的方式进行计算概率

设x0为生成一个不包含任何小朋友手里的串的概率，先不考虑这个怎么求

我们发现x0+ai可以为结束的串，ai指的是小朋友i的串

对于每个长度为len的串，出现的概率都是$\frac{1}{2^{len}}$

但是这样算会出现一点问题，就是x0串的末尾和xi串的开头可能拼成了一个aj，导致在出现x0+ai之前游戏就结束了

我们计算xi的时候就要减去这些概率

所以可以列出方程如下

$x_i+\sum_{j=1}^{n}\sum_{len=1}^{m-[i==j]}[pre_{x_i,len}=suf_{x_j,len}]\frac{1}{2^{m-a}}=\frac{1}{2^m}x_0$这里$pre_{x_i,len}$表示i串的len长度的前缀

这里的前缀和另一个的后缀是否相等用hash判断即可

列出方程后进行高斯消元

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int s[305][305];
char ss[305];
int n,m;
double A[303][303],p[303],res[303];
int has[303][303],bb[303];
const int base=13131;
const int mod=1e9+7;
void guass(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int pos=i;
        for(int j=i;j<=n;j++) if(fabs(A[j][i])>fabs(A[pos][i])) pos=i;
        for(int j=1;j<=n+1;j++) swap(A[pos][j],A[i][j]);
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i!=j)
            {
                double t=A[j][i]/A[i][i];
                for(int k=i+1;k<=n+1;k++) A[j][k]-=A[i][k]*t;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) res[i]=A[i][n+1]/A[i][i];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",ss+1);
        for(int j=1;j<=m;j++)
            s[i][j]=(ss[j]=='T'?0:1);
    }
    p[0]=1.0; bb[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++) p[i]=p[i-1]*0.5;
    for(int i=1;i<=m;i++) bb[i]=bb[i-1]*base;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            has[i][j]=1LL*has[i][j-1]*base+s[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        A[i][n+1]=-p[m]; A[i][i]=1.0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            for(int len=1;len<=m-(i==j);len++)
                if(has[i][len]==has[j][m]-has[j][m-len]*bb[len])
                    A[i][j]+=p[m-len];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        A[n+1][i]=1.0;
    A[n+1][n+2]=1.0;
//    for(int i=1;i<=n+1;i++)
//    {
//        for(int j=1;j<=n+1;j++)
//            printf("%.3f ",A[i][j]);
//        printf("= %.3f\n",A[i][n+2]);
//    }
    guass(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.10f\n",res[i]);
    return 0;
}