圆方树

圆方树是将图转化成树的一种工具。

在图中找到每一个点双联通分量，用圆点表示原图的点，方点表示每一个点双连通分量，然后将每个圆点和它对应的方点连边，就形成了圆方树。

圆方树的详细介绍

P4630铁人两项

点双有一个很好的性质：对于一个点双中的两个点，它们的所有简单路径的并集，恰好完全等于这个点双。

因此，两点在原图中的路径集合，就是两点在圆方树中的路径经过的方点的相邻圆点的集合。

因此，当起点和终点固定时，中转点数量等于起点与终点路径并集的点的数量$-2$（除去起点和终点本身）

如何求点的数量？这需要一个圆方树的常用技巧：路径统计时，点赋上合适的权值。
本题中，每个方点的权值为对应点双的大小，而每个圆点权值为 $-1$。这样赋权后则有两圆点间圆方树上路径点权和，恰好等于原图中简单路径并集大小 $-2$ 。

因此，问题转化为统计圆方树上 $\sum$ 两圆点路径权值和。

暴力求是$O(n^2)$的，因此考虑贡献法。统计每一个点对答案的贡献，也就是它的权值乘以经过它的路径条数。通过树形$DP$求即可。

$code:$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#define int long long
using namespace std;
const int l=4e5+5;
int n,m,u,v,root,num,tim,tot,cnt,ans,r,siz[l],vis[l],w[l],stk[l],dfn[l],low[l],nxt[l],head[l],ver[l];
bool cut[l];vector <int> p[l];
void add(int x,int y){
	nxt[++tot]=head[x];head[x]=tot;ver[tot]=y;
}
void tarjan(int x){
	dfn[x]=low[x]=++tim;
    ++num;
	stk[++r]=x;
	if(x==root&&head[x]==0){
		++cnt;w[cnt]=1;
        p[cnt].push_back(x);
        p[x].push_back(cnt);
		return ;
	}
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int y=ver[i];
		if(!dfn[y]){
			tarjan(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(low[y]>=dfn[x]){
				++cnt;w[cnt]=0;
				int z;
				do{
					z=stk[r--];
					p[cnt].push_back(z);
                    p[z].push_back(cnt);
                    ++w[cnt];
				}while(z!=y);
                ++w[cnt];
				p[cnt].push_back(x);
                p[x].push_back(cnt);
			}
		}
		else
			low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
}
void dfs(int x,int fa){
    vis[x]=1;
    siz[x]=(x<=n);
    for(int i=0;i<p[x].size();++i){
        if(p[x][i]!=fa){
            dfs(p[x][i],x);
            ans+=2ll*w[x]*siz[x]*siz[p[x][i]];
            siz[x]+=siz[p[x][i]];
        }
    }
    ans+=2ll*w[x]*siz[x]*(num-siz[x]);
}
signed main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
    cnt=n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        w[i]=-1;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		scanf("%lld%lld",&u,&v);
		if(u!=v)
			add(u,v),add(v,u);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(!dfn[i])
			num=0,root=i,tarjan(i),dfs(i,0);
    printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}