虚树

考虑这样一类问题：有多次询问，每次询问要规定一些关键点，根据这些关键点提出一些问题，所有询问的关键点总数于整个图中的点数同阶。

如果每次询问都暴力地跑整个树，那么肯定为$TLE$，但如果只把有用的点拎出来，单独建立一棵树，就可以保证时间复杂度。这棵树就是虚树。

虚树的详细介绍

P3233世界树

首先一眼能看出需要用虚树，但是难点在于如何DP。

对于每个点，求出管辖它的点 $c[i]$ ，以及它到管辖点的距离 $dp[i]$ 。可以用两次 $DFS$ 求出虚树上的点的上述信息，第一次用子树更新父亲，第二次用父亲更新儿子。

对于非虚树上的点，需要进行分类讨论。

• 对于一个虚树点 $u$ ，如果它在原树上某个儿子 $v$ 的整个子树都没有管辖点，那么 $v$ 整个子树都由 $u$ 管辖。

• 对于虚树上的一条边，这条边相当于原树上的一条链。这条链的一部分点由 $u$ 管辖，一部分由 $v$ 管辖。利用倍增找到分界点即可。

$code:$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=3e5+5;
int n,m,k,u,v,w,cnt,h[L],stk[L],dfn[L],r,tot,head[L],ver[L*2],nxt[L*2],d[L],lg[L],fa[L][25];
int ct,cn[L],ch[L],cv[L],dp[L],c[L],siz[L],ans[L],b[L];bool ok[L];
void add(int x,int y){
	nxt[++tot]=head[x];head[x]=tot;ver[tot]=y;
}
void add2(int x,int y){
	cn[++ct]=ch[x];ch[x]=ct;cv[ct]=y;
}
void dfs(int x,int father){
	dfn[x]=++cnt;
	siz[x]=1;
	d[x]=d[father]+1;
	fa[x][0]=father;
	for(int i=1;i<=lg[d[x]];++i)
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
		if(ver[i]!=father){
			dfs(ver[i],x);
			siz[x]+=siz[ver[i]];
		}
}
int lca(int x,int y){
	if(d[x]<d[y])
		swap(x,y);
	while(d[x]>d[y])
		x=fa[x][lg[d[x]-d[y]]];
	if(x==y)
		return x;
	for(int i=20;i>=0;--i)
		if(fa[x][i]!=fa[y][i])
			x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
bool cmp(int x,int y){
	return dfn[x]<dfn[y];
}
void calc(int u,int v){//处理非虚树的点 
	int q=v;
	for(int i=20;i>=0;--i)
		if(d[fa[q][i]]>d[u]){//倍增找分界点，fa[q][i]是u的儿子 
			int len1=d[v]-d[fa[q][i]]+dp[v],len2=d[fa[q][i]]-d[u]+dp[u];
			//len1表示v的管辖点到fa[q][i]距离，len2表示u的管辖点到fa[q][i]的距离 
			if(len1<len2||(len1==len2&&c[v]<c[u]))
				q=fa[q][i];//分界点在上边，q需要往上跳 
		}//q及其子树都归v管辖 
	ans[c[v]]+=siz[q]-siz[v];ans[c[u]]-=siz[q];
}
void dfs1(int x,int father){//用儿子更新父亲 
	dp[x]=1e9;
	for(int i=ch[x];i;i=cn[i])
		if(cv[i]!=father){
			dfs1(cv[i],x);
			if(dp[cv[i]]+d[cv[i]]-d[x]<dp[x])//x的儿子到其管辖点的距离 + x到儿子的距离 < x到其管辖点的距离 
				dp[x]=dp[cv[i]]+d[cv[i]]-d[x],c[x]=c[cv[i]];//此时x的管辖点变为x的儿子的管辖点 
			else if(dp[cv[i]]+d[cv[i]]-d[x]==dp[x])
				c[x]=min(c[x],c[cv[i]]);//距离相等时，选择编号小的 
		}
	if(ok[x]) dp[x]=0,c[x]=x;//x为管辖点 
}
void dfs2(int x,int father){//用父亲更新儿子 
	for(int i=ch[x];i;i=cn[i])
		if(cv[i]!=father){
			if(dp[x]+d[cv[i]]-d[x]<dp[cv[i]])//x到其管辖点的距离 + x到儿子的距离 < x的儿子到其管辖点的距离 
				dp[cv[i]]=dp[x]+d[cv[i]]-d[x],c[cv[i]]=c[x];//此时x的儿子的管辖点变为x的管辖点 
			else if(dp[x]+d[cv[i]]-d[x]==dp[cv[i]])
				c[cv[i]]=min(c[cv[i]],c[x]);//距离相等时，选择编号小的 
			calc(x,cv[i]);dfs2(cv[i],x);
		}
	ans[c[x]]+=siz[x];
	ch[x]=0;ok[x]=0;
}
void work(){
	stk[r=1]=1;ct=0;
	sort(h+1,h+k+1,cmp);
	for(int i=1;i<=k;++i)
		if(h[i]!=1){
			int tmp=lca(stk[r],h[i]);
			if(tmp!=stk[r]){
				while(dfn[tmp]<dfn[stk[r-1]])
					add2(stk[r-1],stk[r]),add2(stk[r],stk[r-1]),--r;
				if(dfn[tmp]>dfn[stk[r-1]])
					add2(tmp,stk[r]),add2(stk[r],tmp),stk[r]=tmp;
				else
					add2(tmp,stk[r]),add2(stk[r],tmp),--r;
			}
			stk[++r]=h[i];
		}
	for(int i=1;i<r;++i)
		add2(stk[i],stk[i+1]),add2(stk[i+1],stk[i]);
	dfs1(1,0);dfs2(1,0);
	for(int i=1;i<=k;++i)
		printf("%d ",ans[b[i]]),ans[b[i]]=0;
	printf("\n");
	return ;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;++i){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v);add(v,u);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		lg[i]=lg[i-1]+((1<<(lg[i-1]+1))==i);
	dfs(1,0);
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		scanf("%d",&k);
		for(int i=1;i<=k;++i)
			scanf("%d",&h[i]),b[i]=h[i],ok[h[i]]=1;
		work();
	}
	return 0;
}