ST表学习笔记

0.关于ST表

ST表时间复杂度极小，不过是静态，支持RMQ，区间GCD等问题。

1.ST表入门

ST表基于倍增思想，以区间最小值为例，设\(st_{i,k}\)为从\(i\)开始往后\(2^k\)个的最小值。
显然，\(st_{i,0}=a_i\)（其中\(a\)为序列）
而\(st_{i,k}=\min(st_{i,k-1},st_{i+2^{k-1},k-1})\)（将前一半与后一半合并）
接下来是区间查询。先上代码

int query(int l,int r){
	int k=lg[r-l+1];//lg为预处理的log2
	return min(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
}

可以证明，这样是不会超出\([l,r]\)的范围的，也不会出现漏算的情况。
里面会有一些重复，这就是ST表只支持RMQ等问题的原因。
RMQ重复算是不会对答案产生影响的，而RSQ等会产生影响。
P3865AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans[100001][21],n,m,lg[100001];
int st(int x,int y){
	int k=lg[y-x+1];
	return max(ans[x][k],ans[y-(1<<k)+1][k]);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);lg[0]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
	    lg[i]=lg[i>>1]+1;
		scanf("%d",&ans[i][0]);
	}
	for(int i=1;i<=20;i++){
		for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++){
			ans[j][i]=max(ans[j][i-1],ans[j+(1<<(i-1))][i-1]);
		}
	}
	while(m--){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		printf("%d\n",st(x,y));
	}
	return 0;
}

时空复杂度证明：
预处理部分，一维为\(\log n\)级别，一维为\(n\)级别，总共为\(O(n\log n)\)
询问部分：显然\(O(1)\)