zkw线段树学习笔记

1. zkw线段树是什么
   zkw线段树，顾名思义，是一种线段树。
   他是线段树的非递归形式，虽然没递归版线段树那么通用，但它的常数与码量吊打递归版线段树。

2. zkw线段树的构造
   说了那么多，不会写也没用啊。
   递归式线段树自上往下遍历，即从根节点到叶节点，再回到根节点。
   zkw则正好相反，直接从叶节点到根节点。
   这就要我们记录下每一个叶节点的位置。
   但在一般情况下不太好记录。
   
   如图，每个叶节点的位置不太规律。
   但有一种特殊情况。
   
   也就是叶节点的个数是2的次幂的时候，线段树是一棵满二叉树。
   zkw线段树的方法就是在原数列后面补0，使其变为满二叉树的形态。
   这样叶子节点就很好找。
   构建代码如下：

   int M,tr[N<<2],n;//n为原始数据个数，tr为线段树，M为填充后数据个数
   void build(){
   	for(M=1;M<=n;M<<=1);
   	//根据需要自行补充
   }
   

3. zkw线段树单点操作
   可以发现，$M$既是填充后数据个数，也是填充后第一个数据的编号，将其留空（有用）
   因此，原数据第$i$个对应的叶节点编号为$i+M$
   单点修改就在叶节点直接修改，向上pushup

   //单点增加代码
   void modify(int pos,int x){
   	pos+=M;tr[pos]+=x;pos>>=1;
   	while(pos){
   		tr[pos]=tr[pos<<1]+tr[pos<<1|1];
   	}
   }
   

   单点查询更加简单。相信不用说了。

4. zkw线段树区间操作
   区间查询就当然不能一个一个查了这和暴力有什么区别
   正解：设两个指针$s$,$t$，初始时分别指向$l-1$,$r+1$的位置（0的位置派上用场了）。
   然后同步向上跳，父亲节点相同（即成为兄弟时）时停止向上跳。
   如果$s$为父亲的左儿子，那将$s$兄弟的数据合并。
   因为$s$肯定包含$l-1$，且$t$不为$s$兄弟，所以$s$兄弟数据在$l,r$范围内。
   同理，如果$t$为父亲的右儿子，那将$t$兄弟的数据合并。