OpenGL学习之路（二）

1　引子

在上一篇读书笔记中，我们对书本中给出的例子进行详细的分析。首先是搭出一个框架；然后填充初始化函数，在初始化函数中向OpenGL提供顶点信息（缓冲区对象）和顶点属性信息（顶点数组对象），并启用顶点数组对象；最后填充绘制函数，首先清空颜色缓存，然后调用glDrawArray来绘制基本图形。例子中使用的坐标都是二维坐标，所以画出来的图形是二维图形（这里是两个三角形），而我们知道OpenGL最主要是用来进行三维图形的渲染的，所以有必要在学习OpenGL相关API之前对三维变换做一个简要的介绍。其实这一部分应该属于红宝书中第五章的内容，这里我们将其提前了，在读书笔记（二）就拿出来介绍——这是我们三维渲染的最基本的知识点，也是最关键的知识点，理解起来也有一定的难度。本次读书笔记主要讲述平移、旋转、缩放变换的变换矩阵，投影变换将在下一篇读书笔记再做记录。本篇读书笔记主要是自己对一些数学概念的理解和记录，仅供参考，如有不同理解的，大家可以一起讨论哈！

2　 点、坐标系与向量

讨论三维变换之前，得先了解点、向量和坐标系这些基本数学概念。这部分内容可能比较抽象，下面记录的是我对这些概念的一些理解。

2.1　位置的相对性

在日常生活中，我们在向别人描述一个陌生的地方的时候，通常会选择一个他熟悉的地方作为一个参考点。例如：我们向老外介绍河北的一座古城邯郸，老外知道北京，我们就会说邯郸在北京往西南走300km；如果老外知道石家庄，那我们也可以告诉他，邯郸在石家庄往南走100km。这说明，位置是一个相对的概念，要描述一个位置，首先要选择参考点；参考点的选择是任意的，所选取的参考点不同，位置的描述也就不同。

在几何中，位置用“点”这一概念来描述，即点是一个只有位置没有大小的量。描述一个点和描述一个位置是一回事，刚才已经说了位置是一个相对的概念，所以首先就要用到参考点。我们以最简单的一维数轴为例来说明描述点的位置，如下图所示：

对于数轴上同一点AA，要描述AA点的位置，先要选取任意一个参考点，如果选择的参考点是O1O1，则AA点在O1O1点右边l1l1的地方；如果选择的参考点是O2O2，则AA点在O2O2点左边l2l2的地方。通过数轴和参考点，我们就将数轴上的几何点用抽象的数字表达出来了。

2.2 坐标系与向量

从图上可以看出，数轴上的点只能沿着数轴方向进行变化，即它是一维的。如果点在一个平面上或一个空间中变化，那么数轴这一工具是无法描述的。这时就要引入二维坐标系和三维坐标系来描述点的位置。介绍坐标系之前，首先介绍一下向量的概念。

在我们还是十七八岁学习高一几何的时候，我们就已经接触到了向量——既有大小，又有方向的量，用一个有向线段来表示。说白了，向量定义了一个方向、一个长度和一个单位长度。如上图中，O1AO1A和AO2AO2就是两个向量，大小分别为l1l1和l2l2，方向为水平向右。

一个平面上，有无数这样的向量。但是关于向量，有一个非常重要的法则——使用平行四边形法则来对任何一个向量进行分解。平行四边形法则来自于物理学中力的分解与合成，后被引入数学中加以抽象来描述向量的分解与合成。所谓平行四边形法则，指的是任何一个平面向量都可以用一个不共线的两个向量表示。于是，平面中无数的向量就可以用两个不共线的向量来表示。由这两个向量及它们的公共起点构成的数学结构就是二维坐标系，用坐标系就可以描述二维平面上的任意点，当然也可以描述二维平面上的任意向量，这两个向量就是线性代数中的基向量。我们知道，在数学中，向量是位置无关的（即自由向量），只要大小相等，方向相同的两个向量就是同一个向量（这和物理学中的力不一样）。所以要描述二维空间中的点，还需要一个参考点，于是就定义了这两个向量的公共起点作为参考点——即我们熟知的坐标原点。坐标轴向量和坐标原点就构成了坐标系，可以用坐标系来描述其中的任何向量和任一点。

三维坐标系和二维坐标系是类似的，使用两次平行四边形法则，从而将任意一个三维向量表示为三个不共面的三维向量(基向量)来表示，这三个向量移到一起的公共起点定义为三维坐标系的坐标原点。二维和三维笛卡尔坐标系就是基向量垂直的二维和三维坐标系，也是应用最为广泛的坐标系，也称为平面直角坐标系和空间直角坐标系。

下面，我们来看看向量的表示方法。同样在我们懵懵懂懂的青春岁月里，我们就已经知道向量有两种表示方法：第一种是符号表示法，如a,ba,b等；另一种是坐标表示法，这里对坐标表示做较详细的说明。刚才已经说了，任意一个二维向量都可以用两个不共线的向量来表示，假设两个基向量为ii和jj，且长度为1。则对任一个向量a=xai+yaja=xai+yaj，这样，向量aa可用一个有序对(xa,ya)(xa,ya)来唯一表示，这就是向量的坐标表示。三维乃至NN维向量的坐标表示都是一样的。在这里，博主还是想强调一下，向量的坐标并不是该向量在坐标轴上的投影，只有笛卡尔坐标是向量在基向量上的投影。所以，在普通坐标系下，一个向量的坐标不是很好求，但在直角坐标系下，就变得很好求了——求投影，这也是笛卡尔坐标系应用的如此广泛的原因。下面我们来看看，什么是投影，其实高一数学中也已经接触到了，如下图所示：

假设cc为向量aa在向量bb上的投影，那么：

 

c=acos<a,b>(1)(1)c=acos<a,b>

所以，在二维直角坐标系中，如果二维向量aa长度为ll，该向量与xx轴和yy轴的夹角分别为αα和ββ，则我们很容易得到该向量的坐标表示为=(lcosα,lcosβ)T=(lcos⁡α,lcos⁡β)T；同样地，对三维空间向量bb，其长度为LL，与xx轴、yy轴和zz轴的夹角分别为αα、ββ和γγ，则其坐标表示为b=(Lcosα,Lcosβ,Lcosγ)Tb=(Lcos⁡α,Lcos⁡β,Lcos⁡γ)T。

2.3 点的表示

刚才我们定义了坐标系——坐标原点和三个不共面的向量组成，并且三维空间中的任意向量都可以由这三个向量唯一表示，但我们没有讲点怎么由坐标系来定义。设在三维笛卡尔坐标系中，坐标原点为OO，三个基向量分别为ii，jj，kk，我们要求PP点的坐标，那么

 

OP→=x1i+y1j+z1kOP→=x1i+y1j+z1k

于是，点PP可以表示为

 

P=x1i+y1j+z1k+OP=x1i+y1j+z1k+O

所以，要想表示一个三维的点，可以用四维坐标来表示，例如刚才的PP可以表示为P=(x1y1z11)P=(x1y1z11)，这就是齐次坐标。对顶点来说，齐次坐标才是其真正的表示方式。向量可以表示为v=(x1y1z10)v=(x1y1z10)。

3　线性变换与齐次坐标

3.1 概述

代数中的线性变换的概念很抽象，涉及到向量空间、线性映射之类的概念，在这里不做过多解释，如下想了解可以度娘或必应。给一个通俗点的解释，三维线性变换就是将点/向量的坐标值做一个运算，使其坐标值发生改变，这在几何中的反映就是几何体的形状被改变了。在计算机图形学中，线性变换一般是指平移、旋转、缩放、投影（正交投影和透视投影）以及这些基本变换的综合运算。通过刚才的描述，我们知道一下几点信息：几何中的点或向量由四个坐标值确定，而坐标值是由坐标系确定的，坐标系又是由三个不共面的向量和坐标原点构成。也就是说，对于同一点，在不同的坐标系下，描述它的坐标值是不一样的，而变换就是建立这两种不同描述之间的联系——所以在以前我们称之为坐标变换。例如：在坐标系O1−i1j1k1O1−i1j1k1坐标系下，某一点可以描述为PP点可以用四元祖(x1,y1,z1,o1)(x1,y1,z1,o1)描述，

 

P=(x1y1z1o1)⎛⎝⎜⎜⎜i1j1k1O1⎞⎠⎟⎟⎟=(i1j1k1o1)⎛⎝⎜⎜⎜x1y1z1o1⎞⎠⎟⎟⎟(2)(2)P=(x1y1z1o1)(i1j1k1O1)=(i1j1k1o1)(x1y1z1o1)

在另一个坐标系为O2−i2j2k2O2−i2j2k2，可以用另一个有序元组描述它，设为(x2,y2,z2,o2)(x2,y2,z2,o2)

 

P=(x2y2z2o2)⎛⎝⎜⎜⎜i2j2k2O2⎞⎠⎟⎟⎟=(i2j2k2O2)⎛⎝⎜⎜⎜x2y2z2o2⎞⎠⎟⎟⎟(3)(3)P=(x2y2z2o2)(i2j2k2O2)=(i2j2k2O2)(x2y2z2o2)

那么怎么建立(3)(3)和(2)(2)之间的联系呢？还是之前我们说的，任意一个三维向量都可以表示用三个不共面的向量表示，所以i2,j2,k2i2,j2,k2可以用i1,j1,k1i1,j1,k1线性表出：

 

i2=T11i1+T21j1+T31k1+0O1i2=T11i1+T21j1+T31k1+0O1

 

j2=T12i1+T22j1+T32k1+0O1j2=T12i1+T22j1+T32k1+0O1

 

k2=T13i1+T23j1+T33k1+0O1k2=T13i1+T23j1+T33k1+0O1

 

O2=T14i1+T24j1+T34k1+T44O1O2=T14i1+T24j1+T34k1+T44O1

 即：

 

(i2j2k2O2)=(i1j1k1O1)⎛⎝⎜⎜⎜T11T21T310T12T22T320T13T23T330T14T24T34T44⎞⎠⎟⎟⎟(i2j2k2O2)=(i1j1k1O1)(T11T12T13T14T21T22T23T24T31T32T33T34000T44)

于是，我们就可以写出从(x1y1z1o1)T(x1y1z1o1)T变换到(x2y2z2o2)T(x2y2z2o2)T的变换表达式为：

 

⎛⎝⎜⎜⎜x2y2z2o2⎞⎠⎟⎟⎟=(i1j1k1O1)⎛⎝⎜⎜⎜T11T21T310.0T12T22T320.0T13T23T330.0T14T24T34T44⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜x1y1z1o1⎞⎠⎟⎟⎟(x2y2z2o2)=(i1j1k1O1)(T11T12T13T14T21T22T23T24T31T32T33T340.00.00.0T44)(x1y1z1o1)

其中，将

 

T=⎛⎝⎜⎜⎜T11T21T310.0T12T22T320.0T13T23T330.0T14T24T34T44⎞⎠⎟⎟⎟T=(T11T12T13T14T21T22T23T24T31T32T33T340.00.00.0T44)

称为坐标变换矩阵。接下来主要就是讲解怎么求基本的坐标变换(仿射变换)矩阵。

3.2 缩放

缩放应该是所有线性变换中最简单的变换了。执行缩放操作，例如将一个向量缩放为原来的ss倍，相当于原点不变，xx、yy、zz三个坐标轴缩放为原来的ss倍。根据3.1介绍的，缩放操作的变换矩阵为：

 

Ts=⎛⎝⎜⎜⎜s0000s0000s00001⎞⎠⎟⎟⎟Ts=(s0000s0000s00001)

3.3 平移

所谓平移，就是在坐标系中的三个坐标轴保持不变，原点沿着平移向量移动到新位置。假设平移向量为vp=(xpypzp0)vp=(xpypzp0)同样，根据可以得到，平移操作的变换矩阵为：

 

Tp=⎛⎝⎜⎜⎜⎜100001000010xpypzp1⎞⎠⎟⎟⎟⎟Tp=(100xp010yp001zp0001)

3.4 旋转

最后来推导最难的旋转变换矩阵。与平移、旋转矩阵的不同，旋转矩阵就不那么直观了。下面，我们来具体看一下旋转矩阵的推导，这个推导是执行三次向量的平行四边形法则进行分解得到，整个分解过程如下图所示：

三次分解由不同的颜色表示出来了，分别是红色、浅蓝色和紫色。

已知条件：ii、jj和kk是三维笛卡尔坐标系的基向量，原点为OO，旋转轴为uu，也是单位向量，向量i′i′为xx方向的基向量ii绕旋转轴uu旋转θθ后的新向量——旋转后坐标系xx轴的基向量。

我们的目的：将向量i′i′用基向量ii、jj和kk表示出来。

第一步向量分解：将i′i′分解为沿着旋转轴uu的向量OA→OA→和垂直于uu的向量OB→OB→，则：

 

i′=OA→+OB→(4)(4)i′=OA→+OB→

且：

 

OA→=uxu=u2xi+uxuyj+uxuzk(5)(5)OA→=uxu=ux2i+uxuyj+uxuzk

第二步向量分解：将ii分解为沿着旋转轴uu的向量OA→OA→和垂直于uu的向量OC→OC→，则

 

i=OA→+OC→i=OA→+OC→

且：

 

OC→=i−uxu=(1−u2x)i−uxuyj−uxuzk(6)(6)OC→=i−uxu=(1−ux2)i−uxuyj−uxuzk

第三步向量分解：建立OB→OB→与OC→OC→之间的联系，将向量OB→OB→分解为沿着OC→OC→方向的向量OD→OD→和垂直于OB→OB→的向量OE→OE→，则

 

OB→=OD→+OE→(7)(7)OB→=OD→+OE→

根据66可得：

 

OD→=|OB→|cosθOC→|OC→|=cosθOC→=cosθ(i−uxu)=(1−u2x)cosθi−uxuycosθj−uxuzcosθk(8)(8)OD→=|OB→|cos⁡θOC→|OC→|=cos⁡θOC→=cos⁡θ(i−uxu)=(1−ux2)cos⁡θi−uxuycos⁡θj−uxuzcos⁡θk

另外，注意到OE→OE→和OC→OC→垂直，uu是旋转轴，则uu与平面OEBDOEBD垂直，所以uu与OEOE垂直，则OE→OE→在向量uu和向量OC→OC→的叉乘向量上，假设 OF→=u×OC→OF→=u×OC→，于是：

 

OE→=kOF→=ku×OC→=ku×(i−uxu)=ku×iOE→=kOF→=ku×OC→=ku×(i−uxu)=ku×i

所以现在求出kk就可以了，由叉乘定义：|OF→|=|u||OC→|sin(90)=|OC→|=|OB→||OF→|=|u||OC→|sin(90)=|OC→|=|OB→|，所以：k=sinθk=sin⁡θ，最后得到

 

OE→=sinθu×(i−uxu)=sinθ⎛⎝⎜iux1juy0kuz0⎞⎠⎟=uzsinθj−uysinθk(9)(9)OE→=sin⁡θu×(i−uxu)=sin⁡θ(ijkuxuyuz100)=uzsin⁡θj−uysin⁡θk

将(8)(8)和(9)(9)代入(7)(7)得：

 

OB→=(1−u2x)cosθi−(uxuycosθ−uzsinθ)j−(uxuzcosθ+uysinθ)k(10)(10)OB→=(1−ux2)cos⁡θi−(uxuycos⁡θ−uzsin⁡θ)j−(uxuzcos⁡θ+uysin⁡θ)k

最后，将(5)(5)和(10)(10)代入(4)(4)可得

 

i′=(cosθ+u2x(1−cosθ))i+(uxuy(1−cosθ)+uzsinθ)j+(uxuz(1−cosθ)−uysinθ)k+0Oi′=(cos⁡θ+ux2(1−cos⁡θ))i+(uxuy(1−cosθ)+uzsin⁡θ)j+(uxuz(1−cos⁡θ)−uysin⁡θ)k+0O

其余两个变换后的基向量i′i′和j′j′也可以由ii、jj和kk表示出来，最终得到齐次旋转矩阵为

 

Mr=⎛⎝⎜⎜⎜⎜cosθ+u2x(1−cosθ)uyux(1−cosθ)+uzsinθuzux(1−cosθ)−uysinθ0uxuy(1−cosθ)−uzsinθcosθ+u2y(1−cosθ)uzuy(1−cosθ)+uxsinθ0uxuz(1−cosθ+uysinθuyuz(1−cosθ)−uxsinθcosθ+u2z(1−cosθ)00001⎞⎠⎟⎟⎟⎟Mr=(cos⁡θ+ux2(1−cos⁡θ)uxuy(1−cos⁡θ)−uzsin⁡θuxuz(1−cos⁡θ+uysin⁡θ0uyux(1−cos⁡θ)+uzsin⁡θcos⁡θ+uy2(1−cos⁡θ)uyuz(1−cos⁡θ)−uxsin⁡θ0uzux(1−cos⁡θ)−uysin⁡θuzuy(1−cos⁡θ)+uxsin⁡θcos⁡θ+uz2(1−cos⁡θ)00001)

4 总结

最后总结一下，在这篇博文中我们讲述了点及其相对性，接着介绍了向量的概念，由平行四边形法则引出坐标系的概念，然后介绍了点在坐标系下的表示，最后介绍了坐标变换和变换矩阵的概念，给出了三种基本变换——平移变换、旋转变换和缩放变换的变换矩阵。这些矩阵综合运用，就构成了三维空间中复杂的变换了，三维变换是三维图形绘制的基础，也是学习OpenGL时较难理解的知识点之一。

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