流体的物理性质和描述流体运动的物理量

连续介质假设:部分内容省略,详见教材。

在研究流体时,我们取微团进行统计平均来取各个物理量。

例如密度,我们在取微团时,微团的尺度在微观上要充分大,宏观上充分小。因为微观上如果仅包含个别分子,则统计结果波动太大,宏观上如果太大,则无法描述局部的性质。

 

 流体的密度会随温度以及压力的变化而变化,随温度变化时称为热膨胀性,随压力变化时称可压缩性。

 

 对于有相对运动的两层气体(注意是气体不是液体)来说,界面上因为分子热运动导致的动量交换(高速和低速粒子穿过界面进入另一个速度的流体中),导致形成粘性,可以大概理解为滑动摩擦力。

对于有相对运动的两层液体来说,一般认为粘性来源于,界面上的分子引力,阻碍相对运动。

 

 切应力与速度梯度有关系,所以如果是线性切应力,我们直接用U比h,因为真个切面上的速度梯度是一样的。更一般的就要取u和h的微元来算速度梯度。

系数μ是和流体本身的性质有关的。

 

 注意,温度升高气体粘性增大,液体相反。因为温度升高分子热运动加剧,而液体引力降低。有一个典型例子:冬天温度低时倒食用油更困难。

不遵循以上规律的称为非牛顿流体,本课程内只研究牛顿流体,即粘性与速度梯度呈线性关系。

 

中间有一段没有PPT

 

 

 

有了运动方程便可以求解初始质点运动后的位置,通过一次求导可求速度,二次求导可求加速度。注意abc表示初始位置(用来标记质点),t表示时间。

 

 

 

  欧拉方法是通过速度场描述运动的,如何写出加速度:

 上式中,填了一项再把它减去,前面已经用过好几次这个方法了。这样就可以使原式可计算可解释。

现在式中第一项是同一位置速度的变化,第二项是同一时间内不同位置的速度的变化量。

可见,在欧拉表示下,速度和加速度的关系不是单纯速度对时间的导数了,还多了一项。

上式只是x分量,下面还有其他两个分量。

 

 三个分量合并后,可以写成矢量的形式。其中第一项我们叫局地导数,第二项我们叫位变导数,这两个合起来称为全导数(随体导数)。

最后一行,如果将V提到外面去(第一行的分量形式也是一样可以提出去),就剩下式中的东西,又记为D/Dt,又称全导数。

对于一个东西求全导数意味着对他求局地导数和位变导数。

所以欧拉表述下,速度的全导数才对应加速度。注意,这个加速度仍然是定义在某一个具体运动的质点(流体微团)上的,是在欧拉方法下对质点的某个物理量变化率的表述方法。(要跟着这个微团走的,所以全导数又叫随体导数)

我们的研究工具研究方法,例如牛顿第二定律都是对于物体而言,而非对于空间(场)而言,所以必须要有随体导数。

1)全导数为0代表流体微团的加速度为0,说明该场中所有流体微团都是匀速直线运动

2)局地导数为0,表示该场是定常的,任意点的速度不随时间变化。

3)三个速度分量的梯度为0,梯度描述场的不均匀性,所以这一项表示速度场是均匀的。

4) 位变导数是0表示在任意点处,沿着速度方向,速度的变化率是0。

 

 

 

 我们知道拉格朗日是追踪法,所以质点的轨迹是好求的。欧拉需要转化到拉格朗日

粉色的部分就是欧拉如何对应到拉格朗日三个速度分量的表示

 

 

 

 流线上切线方向的三个分量与速度的三个分量对应成比例。所以流线的方向即瞬时速度的方向。

 如果速度的方向是定常的,流线就与轨迹重合。速度大小不影响,流线只能表达出方向并不能表达出速度大小,刚也说了成比例即可

 

 

流线是流场的瞬时状态的描述,轨迹则是针对具体质点(微团)的

 

 

 

 右面上图是脉线,下图是时间线。

流面是先取一段线,然后该线的运动轨迹组成一个面。这个面上的切线都是速度方向,所以不会有流体穿过这个面。

 

 

 

我们现在探究相对于M'点相对于M点的相对速度大小,注意是相对速度

粉色框上式是相对速度的三个分量,每个速度分量又在三个方向上有三个分量。把上式表达成矩阵运算则如下图所示

 

 其中,我们把中间的大矩阵记为E,再拆成1/2组成一个新的式子,Ec是其转置

 

注意,分开后一部分记为S,一部分记为S

 

 

 对应的,相对速度的表示也就分解为两部分

 

 第一部分的上角标是d(注意绿色框里的是一个对称矩阵),第二部分上角标是r(注意粉色框里的是一个反对称矩阵)

 

 我们先看粉色框的反对称矩阵代表什么。首先看黄色框,我们把速度场的旋度乘以1/2,将这个式子记为ω,然后就会发现矩阵中的元素就是ω的分量或者其相反数。这样我们就可以如下面绿色框,把相对速度的这一部分(一共两部分)记为ω和δr的叉积。——流体微团的刚性旋转

第二部分是变形运动,但老实说不需要深究机理。

粉色框:由于上面我们探究的是M'相对于M的速度,所以M'的速度实际等于M的速度加上它们的相对速度

 

 

 三个对角元之和刚好是速度散度,它表示单位时间内流出流体的体积。

为什么单独提出对角元之和讨论:矩阵中的元素的形式随选取不同的坐标系变化,但三者之和——速度散度不变,它是一个物理事实。

 

 

 

 

 P代表静压强,I是单位矩阵,负号表示与y方向相反。

 

posted @ 2022-10-17 20:34  诸葛村夫CC  阅读(1184)  评论(0编辑  收藏  举报