C#.Net筑基-深入解密小数内部存储的秘密

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为什么0.1 + 0.2 不等于 0.3？为什么16777216f 等于 16777217f？为什么金钱计算都推荐用decimal？本文主要学习了解一下数字背后不为人知的存储秘密。

01、数值类型

C#中的数字类型主要包含两类，整数、小数，C#中的小数都为浮点（小）数。

void Main()
{
	int a1 = 100;
	int a2 = 0x0f; //15
	var b2 = 0b11; //3
	var x1 = 1;    //整数值默认为int
	var y1 = 1.1;  //小数值默认为double
	Add(1, 2.3); //3.3
	Add(1, 3);   //4
}
private T Add<T>(T x, T y) where T : INumber<T>
{
	return x + y * x;
}
  • 用var类型推断时，整数值默认为int，小数值默认为double。
  • .NET 7 新增的一个专门用来约束数字类型的接口 INumber<T> ，用来约束数字类型非常好用。

数值类型大多提供的成员：

🔸静态字段 说明
MaxValue 最大值常量，Console.WriteLine(int.MaxValue); //2147483647
MinValue 最小值常量
🔸静态方法 说明
Parse、TryParse 转换为数值类型，是比较常用的类型转换函数，参数NumberStyles可定义解析的数字格式
Max、Min 比较值的大小，返回最大、小的值，int.Max(1,100) //100
Abs 计算绝对值
IsInfinity 是否有效值，无穷值
IsInteger 是否整数
IsNaN 是否为NaN
IsPositive 是否零或正实数
IsNegative 是否表示负实数

数值类型还有很多接口，如加、减、乘、除的操作符接口，作为泛型约束条件使用还是挺不错的。

🔸操作符接口 说明
IAdditionOperators 加法
ISubtractionOperators 减法
IMultiplyOperators 乘法
IDivisionOperators 除法 
public static T Power<T>(T v1, T v2) where T : INumber<T>,
	IMultiplyOperators<T, T, T>, IAdditionOperators<T, T, T>
{
	return v1 * v1 + v2 * v2;
}

02、小数、浮点数⁉

C#中的小数类型有float、double、decimal 都是浮点数，浮点 就是“ 浮动小数点位置”，小数位数不固定，小数部分、整数部分是共享数据存储空间的。相应的，自然也有定点小数，固定小数位数，在很多数据库中有定点小数，C#中并没有。

在编码中我们常用的浮点小数是float、double，经常会遇到精度问题，以及类似下面这些面试题。

  • ❓ 为什么0.1 + 0.2 不等于 0.3？
  • ❓ 为什么浮点数无法准确的表示 0.1？
  • ❓ 为什么16777216f 等于 16777217f？这里f表示为float。
  • ❓ 为什么32位float可以最大表示3.402823E38，64位double可以最大表示1.79*E308，那么点位数根本存不下啊？
  • ❓ 同样是32位，float的数据范围远超int，为什么？

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Console.WriteLine(0.1 + 0.2 == 0.3);       //False
Console.WriteLine(16777216f == 16777217f); //True
Console.WriteLine(double.MaxValue); //1.7976931348623157E+308
Console.WriteLine(int.MaxValue);    //2147483647
Console.WriteLine(sizeof(double));  //8 //8字节（64位）

float、double为浮点数，小数位数有限，比较容易损失精度。造成上面这些问题的根本原因是其存储机制决定的，他们都遵循IEEE754格式规范，几乎所有编程语言和处理器都支持该规范，因此大多数编程语言都有类似的问题。Decimal 为高精度浮点数，存储机制与float、double不同，她采用十进制方式表示。

❗ 要搞懂float、double，就不得不了解IEEE754规范！

2.1、IEEE754：float、double存储原理

IEEE 754 （维基百科）是一个关于浮点数算术的国际标准，它定义了浮点数的表示格式、舍入规则、特殊值、浮点运算等规范。IEEE 754 标准最早发布与1985年，其中包括了四种精度规范，其中最常用的就两种：单精度（float，4字节32位）和双精度（double，8字节64位）。大多数编程语言、硬件处理器都支持这两种浮点数据类型，因此float、double的知识几乎是所有语言通用的，可以深入了解一下，不亏的！

IEEE 754 浮点数不像十进制字面量值那样存储，而是用下面的二进制方式来表示并存储的，其实就是二进制的科学计数法。其二进制表示包含三个部分：符号位S、指数部分（阶码E，2为底的指数）和尾数部分M。

  • 🔸符号位（Sign）：占用1位，这是浮点数的最高位，用于表示数字的正负。0表示正数，1表示负数。

  • 🔸指数部分（Exponent，阶码）：表示为2位底的指数，这里使用了移码，实际的指数e = E-127，这样省去了指数的符号位，计算也更方便。

    • float 的指数部分8位，2^8=256 偏移量（移码）为127，表示十进制范围为 [-127，128]，其数据范围就为 ±2^128 = ±3.4E38。指数全是1即指数值为255时，表示为无效数字 ±infinity或NaN。
    • double 的指数部分11位，2^11=2048 偏移量（移码）为1023，十进制值范围[-1023，1024]，因此数据范围 ±2^1024 = ±1.79E308。

  • 🔸尾数部分（Mantissa）：这部分表示数字的精确值（有效数字），包括整数和小数部分。尾数长度决定了精度，因为有效数字长度是有限的，因此就必然存在精度丢失的问题。

    • float 的尾数部分23位，十进制 2^23=8388608，最多6~7（不完整的第7位）位有效十进制数字，只有前6位是完整的。
    • double 尾数长度52位，2^52 = 4503599627370496，因此最多有15~16 位有效十进制数字。

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IEEE754浮点数都会被转换为上述二进制形式：**符号*尾数*2^指数**，如 2 = 1.0 * 2^1，0.5 = 1.0 * 2^-1，5 = 1.25* 2^2。数据（整数、小数部分）先转换为二进制形式，然后左移或右移小数点，转换为1.M形式，始终都是 “1”开头，因此就只存储小数部分即可。

🚩浮点数 =

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十进制 2 就表示为 2 = 1.0* 2^1。下图来自 在线IEEE754转换器计算：IEEE-754 Floating Point Converter。

  • 阶码 E = 127+1 = 128（实际指数e=1） 。
  • 尾数 1.0，实际存储的尾数就是0。

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十进制 0.75 表示为0.75 = 1.5* 2^-1，指数为-1，尾数为1.5。

  • 阶码 E = 127+ (-1) = 126（实际指数e=-1） 。
  • 尾数 1.5，实际存储的尾数就是0.5，二进制值为0.1。为什么0.5 的二进制为0.1呢，请看后续章节。

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2.2、float、double对比

类型 单精度 float 双精度 double
CTS类型 System.Single System.Double
长度 4字节32位 8字节64位
符号位S 1 1
阶码（指数位T） 8，[-127，128] 11，[-1023，1024]
尾数M 23 52
阶码偏移量 127，e= E -127 1023，e= E -1023
精度（10进制） **6~7 **，2^23=8388608 15~16，2^52 = 4503599627370496
范围 ±3.402823E38 ，2^128=3.4E38 ±1.79*E308，2^1024=1.79E308
字面量表示（后缀） f/F d/D

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float只能用于 表示6~7个有效数字时，才不会损失精度。

//7位有效数字
Console.WriteLine(4234567f);  //4234567
//第8位就不准确了
Console.WriteLine(42345678f); //42345680
Console.WriteLine(42345671f); //42345670

//7位有效数字
Console.WriteLine(0.2345678f);  //0.2345678
//第8位就不准确了
Console.WriteLine(2.12345678f); //2.1234567
Console.WriteLine(0.212345678f); //0.21234567

2.3、小数是怎么转换为二进制的？

对于整数转换小数是非常容易理解的，计算机的二进制是天然支持整数存储为二进制的。十进制整数转成二进制通常采用 ”除 2 取余，逆序排列” 即可。

Console.WriteLine($"{1:B4}"); //0001
Console.WriteLine($"{2:B4}"); //0010
Console.WriteLine($"{3:B4}"); //0011
Console.WriteLine($"{4:B4}"); //0100
Console.WriteLine($"{5:B4}"); //0101
Console.WriteLine($"{8:B4}"); //1000

📢“B”格式只支持整数，更多格式化参考《String字符串全面了解>字符串格式化大全》

🚩乘2取整法

但小数则不同，采用的是 “乘2取整法”，小数部分循环迭代，直到小数部分=0为止。：如下0.875的十进制浮点数转换为二进制格式为：0.111。

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0.111，存储为IEE754浮点数，转换为1.M*2^E结构，小数点右移一位，就是1.11*2^-1。

  • 指数E = -1 + 127 = 126 ，二进制值为01111110。
  • 尾数为 11 后面补0。

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十进制小数6.36 转换为二进制，整数部分+小数部分分别转换后合体：

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🚩无限循环的0.1！

二进制无法准确表示小数0.1，是因为0.1 转换为二进制后是无限循环的，0.0 0011 0011 0011...，“0011”无限循环。就像十进制小数1/3 = 0.333 一样。

转换为1.M*2^E结构，小数点右移4位，尾数就是1.1001 1001，指数 E = -4 +127 = 123。

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2.4、浮点数的精度是怎么回事？

计算机存储整数很简单，每个数字是确定的。但小数则不同，0到1之间的小数都无限种可能，计算机有限的空间无法存储无限的小数。因此计算机将小数也当成“离散”的值，就像整数那样，整数之间间隔始终为1。给小数一个间隔刻度，如下图，用钟表来举例，小数刻度（步进）为0.234（十进制）。

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这样做的好处可以兼顾“所有”小数，小数的精度就取决于钟表的“刻度”，刻度越小，精度越高，当然存储时所需要的空间也就越大。

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因此，这个精度本质上是由表盘间隔刻度（Gap）决定的，即使0.0012的间隔刻度，精度达到了4位十进制数，也只能保障前2~3位小数是可靠的。0.001X、0.002X、0.003X，他始终无法表示0.0013、0.0025。

可通过提高刻度（Gap）来提高精度，但存储长度是有限的，因此不管是那种浮点数都是有精度限制的。精度越高的数据类型，也需要更多的长度来存储数据。

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32位float 用了23位来存储有效数字，十进制也就6~7位（2^23=8388608 ）。在IEEE754规范中，小数的“刻度”并不是均匀分布的，而是越来越大，数值越大则精度越低。如下面的表盘和刻度尺的示意图，其精度（Gap）的分布是不均匀的，0附近数字的精度最高，然后精度就越来越低了，低到超过1。

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看看 float 的间隔刻度（Gap）如下图，来自官方IEEE_754文档：

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  • 当数值大于8388608时，刻度（Gap）为1，就不能包含小数了。
  • 当数字大于16777216（1600+万）时间隔刻度为2，连整数精度都不能保证了😂。
//float大于8388608后的间隔为1
Console.WriteLine(8388608.1f == 8388608.4f); //True
//大于16777216后的间隔为2
Console.WriteLine(16777216f == 16777217f); //True
Console.WriteLine(16777218f == 16777219f); //False
Console.WriteLine(16777219f == 16777220f); //True

下图是double的刻度表：小于8的数字都能有16位精度。

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😂 怎么感觉float很鸡肋呢？限制太多了！所以编程中浮点数多大都用的 double 居多，float比较少。

03、更精确的 Decimal

System.Decimal 是16字节（128位）的高精度十进制浮点数，不同于float、double 的二进制存储机制，Decimal 采用10进制存储，表示-7.9E28 到 +7.9E28之间的十进制数。Decimal 最大限度地减少了因舍入而导致的错误，比较适用于对精度要求高场景，如财务计算。

📢 Decimal并不属于IEEE754规范，也不是处理器支持的类型，计算性能要差一点点（约 double 的 10%）。

Console.WriteLine(1f / 3f * 3f); //1
Console.WriteLine(0.1 + 0.2 == 0.3); //False
//decimal更高精度
Console.WriteLine(1m / 3m * 3m); //0.9999999999999999999999999999
Console.WriteLine(0.1m + 0.2m == 0.3m); //True

Decimal可以准确的表示0.1，Decimal 128位的存储结构如下图（图来源）：

  • 96位存储一个大整数，就是有效数字，Math.Pow(2,96) = 7.9E28，最多28位有效数字，因此小数最多也就是28位（全是小数时）。
  • 剩下的32位中，有一个符号位，0 表示正数，1 表示负数。其中有5位（下图中的第111位）表示10的指数部分（0到28的整数），可以理解为小数点的位置，其他位数没有使用默认为0（有点浪费呢？）。

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Decimal 表示小数其实是“障眼法”，内部有三个int （High、Mid、Low）来表示96位有效数字，还有一个int表示指数。可以通过 decimal.GetBits()方法获取他们的值。下图来自 Decimal 源码 Decimal.cs

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3.1、为什么Decimal没有0.1问题？

在Decimal中就没有 0.1+0.2 不等于0.3 的问题，因为她能准确表示0.1。

其根本原因就是 Decimal 不会把小数转换为二进制，而是就用十进制。把小数都转为整数存储，如 0.1在Decimal 中会被表示为 1* 10^-1，尾数为1，指数为-1，指数就是小数点位置。

📢 Decimal值 = 

var arr = decimal.GetBits(0.1M);	
Console.WriteLine($"尾数：{arr[2]}{arr[1]}{arr[0]}");
Console.WriteLine($"指数："+$"{arr[3]:B32}".Substring(0,16));
//尾数：001
//指数：0000000000000001

100.1024 存储为1001024* 10^-4。

  • 尾数为1001024，全都转换为整数了。不用担心超出整数int范围，96位有三个整数并行存储呢！
  • 指数为4，小数点位置在第四格。
var arr = decimal.GetBits(100.1024M);	
Console.WriteLine($"尾数：{arr[2]}{arr[1]}{arr[0]}");
Console.WriteLine($"指数："+$"{arr[3]:B32}".Substring(0,16));
//尾数：001001024
//指数：0000000000000100

如果是负数-100.1024，则只有符号位为1，其他一样

var arr = decimal.GetBits(-100.1024M);	
Console.WriteLine($"尾数：{arr[2]}{arr[1]}{arr[0]}");
Console.WriteLine($"指数："+$"{arr[3]:B32}".Substring(0,16));
//尾数：001001024
//指数：1000000000000100

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📢 所以 Decimal 值只要没有超过28~29位有效数字，就没有精度损失！是不是Very Nice！flaot、double 损失精度的根本原因是其存储机制，必须把小数转换为二进制值，再加上有限的精度位数。

3.2、Decimal、Double、Float对比

类型 单精度 float 双精度 double Decimal 高精度浮点数
类型 System.Single System.Double System.Decimal
规范 IEEE754 IEEE754 无，.Net自定义类型
是否基元类型 是 是 是
长度 32位（4字节） 64位（8字节） 128位（16字节）
内部表示 二进制，基数为2 二进制，基数为2 十进制，基数为10
字面量（后缀） f/F 后缀d/D 后缀m/M
最大精度 6~7 15~16 28~29位
范围 ±3.4E38 ，2^23=3.4E38 范围很大，±1.7*E308 -2^(96) 到 2^(96)，±7.9E28
特殊值 +0、-0、+∞、-∞、NaN +0、-0、+∞、-∞、NaN 无
速度 处理器原生支持，速度很快 处理器原生支持，速度很快 非原生支持，约double的10%

Decimal 虽然精度高，但长度也大，计算速度较慢，所以还是根据实际场景选择。财务计算一般都用 Decimal 是因为他对精度要求较高，钱不能算错，传说算错了要从程序员工资里扣😂😂。

04、一些编程实践

  • 对于精度要求高的场景不适合用浮点数（double、float），推荐decimal，特别是价格、财务计算。
  • 浮点数不适合直接相等比较，直接相等大多会出Bug。
  • 在存储比较大的数字时，需注意float、double 对于整数也有精度问题。

4.1、浮点数的相等比较

  • 使用相同的精度进行比较，Math.Round()获取相同的精度值。
  • 比较相似性，根据实际场景设定一个误差值，如1e-8，只要差值在这个误差范围内，都认为相等。
var f1 = 0.1 + 0.2;
var f2 = 0.3;
	
Console.WriteLine(f1 == f2); //False
//相同精度
Console.WriteLine(Math.Round(f1,6) == Math.Round(f2,6)); //True
//误差范围
Console.WriteLine(Math.Abs(f1-f2)<1e-8); //True

4.2、取整与四舍五入

取整方式 说明/示例
整数相除 10/4=2 抛弃余数，只留整数部分
强制转换(int)2.9=2 直接截断，只留整数部分，需要注意‼️
Convert转换，四舍五入取整 Convert.ToInt32(2.7) = 3; Convert.ToInt32(2.2) = 2;
格式化截断，四射五入 字符串格式化时的截断，都是四舍五入， $"{2.7:F0}" = "3"
Math.Ceiling()，向上取整 Math.Ceiling(2.3) = 3，⁉️注意负数Math.Ceiling(-2.3) = -2
Math.Floor()，向下取整 Math.Floor(2.3) = 2，⁉️注意负数Math.Floor(-2.3) = -3
Math.Truncate()，截断取整 Math.Truncate(2.7) = 2，只保留整数部分，同强制转换
Math.Round()，四舍五入 可指定四舍五入精度，Math.Round(2.77,1) = 2.8

参考资料

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posted @ 2024-06-03 08:00  安木夕  阅读(2805)  评论(1)  编辑  收藏  举报