迷人的斐波那契数

繁殖力超强的兔子

说到斐波那契数，我们自然会想到曾经有一群繁殖力超强的兔子。比萨的商人斐波那契（Fibonacci，12-13世纪，称为比萨的列奥那多）接触到阿拉伯数学后，在其著作《Liber Abaci》中，引入了这个著名的兔子问题。但如果向前追溯下去，则可以追溯到古老的印度数学。斐波那契使用了一个理想化了的兔子生长模型进行研究，并假设：

• 第一个月初有一对刚诞生的兔子
• 两个月之后(第三个月初)它们可以生育
• 每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子
• 兔子永不死去

从第一个月开始，兔子的数目（对）依次是：1，1，2，3，5，8。。。这样就形成了一个序列，记为{Fn}，则该序列存在一个递推关系：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，n >= 3。可以通过如下简单的推断得出：F(n)表示在第n个月时兔子的对数，这些兔子分为两部分，一是在第n-1个月已有的兔子，因为它们都活了下来（实际上会一直活下去），也就是F(n-1)；二是F(n-1)对兔子中可生育的兔子，也就是已经生活了至少二个月的兔子，这个数字恰好是在第n-2个月已有的兔子，即F(n-2)。如果令F(0)=0，则F(n)的定义可推广至所有非负整数（公式一）：

• F(0)=0
• F(1)=1
• F(n) = F(n-1) + F(n-2)，当n > 1

递归求值

这看起来是个非常简单的递推关系，若要通过程序求值， 很自然地，可通过递归实现（算法一）：

// 递归算法 by Anders Cui
public int Fib(int n)
{
    if (n <= 1) { return n; }

    return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}

很多书籍在讲解递归求解时，也常常会选择斐波那契数作为例子。这个例子是一个很直观的递归应用，也很有趣，但却算不上一个好的应用。比如，求F(5)时可表示为下图：

即使对5这样小的数进行求值，也可以看到一点儿端倪，F(3)、F(2)都要多次求值，如果n的值很大，那么其中计算的冗余就非常多了。想办法来改进一下，最直接的办法就是要重用每一项之前的项，这样计算每一项时只需要一次加法。比如，要计算F(n)，就创建一个长度为n+1的数组，逐一计算每一项，F(n)的时间复杂度和空间复杂度都是O(n)，这是动态规划的应用。进一步地，按上面的方法，我们创建了一个长度为n+1的数组，但实际上每次运算只会涉及到三个相邻的元素，这就意味着只需要三个变量就可以维护所需要的值了，从而可以将空间复杂度降低到O(1)（算法二）：

// 算法二 by Anders Cui
public static int Fib(int n)
{
    if (n <= 1) { return n; }

    int previousButOne = 0;
    int previous = 1;
    int answer = 1;

    for (int i = 2; i < n; i++)
    {
        previousButOne = previous;
        previous = answer;
        answer = previousButOne + previous;
    }

    return answer;
}

那有没有更高效的算法？别忘了，本文的主题是斐波那契序列，在考虑序列时，往往需要分析它的通项公式，如果能找出它的通项公式，那么就可以快速得出答案了。

斐波那契序列的通项公式

前面提到F(n)的递推公式是F(n) = F(n-1) + F(n-2)，即F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0，这是一个所谓“带常系数的齐次二阶线性递推式”，由其特征方程及初始值F(0)和F(1)，可以求出通项公式为（过程略）：

这个公式令人称奇之处在于，通过无理数的乘方表示出了一个整数序列的所有元素！通过此公式还可以确定F(n)是呈指数级增长的。不管怎样，根据通项公式可以在O(1)时间内得到答案（算是算法三吧），但计算机不能完全精确地表示无理数，从而无法保证计算的精度。

不过一旦有了通项公式，研究兔子序列时就方便多了。下面将讨论算法一（递归算法）的效率。

在使用递归进行计算的时候，算法的基本操作无疑就是加法。用A(n)表示计算F(n)时所需要的加法次数，则在n>1时，有A(n) = A(n-1) + A(n-2) + 1，与F(n)递推式不同，这是一个非齐次递推式，其求解方法有所不同，不过对于这里的A(n)，却可以快速解出。将上式变形为：

[A(n) + 1] - [A(n-1) + 1] - [A(n-2) + 1] = 0，

如果令B(n) = A(n) + 1，则B(n) - B(n-1) - B(n-2) = 0，B(0) = 1，B(1) = 1。到这里可以发现，B(n)与F(n)递推式相同，不过前者从1,1开始，后者从0,1开始，即B(n) = F(n+1)。所以A(n) = F(n+1) - 1，从而得出A(n)也为指数级。这是斐波那契序列的另一个奇妙之处：通过自身的通项公式了解自身的计算特点。

性质、变形与应用

斐波那契序列有为数众多的有趣性质，甚至有专门讨论它的杂志，这里不再赘述。

由本文开头的递推关系给出，其中两个要素是递推关系和初始值。如果对这两个要素进行调整，就可以得到其它相关的序列，如卢卡斯数、反斐波那契数等等。另外，斐波那契数不仅仅是一个数字谜题，它也有很多应用，这里仅给出两个例子。

爬梯子

假设每一步可以爬一格或者两格梯子，爬一部n格梯子一共可以用几种不同的方法？（比如三格的梯子有三种不同的爬法：1-1-1，1-2，2-1）

在分析这个问题的时候，也可以考虑用递归。假设爬n格梯子有A(n)种不同的方法，第一步要么爬一格，此时剩下的格子爬完共有A(n-1)种；要么爬两格，此时剩下的格子爬完共有A(n-2)种，从而得到递推关系A(n) = A(n-1) + A(n-2)，初始值为A(1) = 1，A(2) = 2。可以看出A(n)与F(n)的关系是：A(n) = F(n + 1)，n > 0。

F(n)在很多这样的组合题中都有应用，另外F(n)的一个组合证明可以看这里。

欧几里德算法（求最大公约数）的效率分析

欧几里德算法据说是史上第一个算法，这两个古老的算法也有重要的交集。首先给出F(n)的一个性质（可通过数学归纳法证明）：

然后通过辗转相除法的定义和F(n)的这个性质可以证明：欧几里德算法求解GCD(a, b)时使用的除法次数不大于b的十进制位数的5倍。再由对数的性质可以得出欧几里德算法使用O(logb)次除法就可以求出GCD(a, b)。

（涉及很多公式书写，这里证明从略，具体过程可参考《离散数学及其应用》的3.4节）

另一个算法

F(n-1)、F(n)和F(n+1)的关系也可以用矩阵表示出来：

这里n > 0，这样F(n)的计算可以转化为右边矩阵的乘方，而这个过程的时间复杂度是O(logn)，所以这是一个不错的选择。

小结

斐波那契序列有很多迷人的性质和有趣的应用，本文仅为匆匆一瞥，希望能让你对它多一些兴趣。总之，繁殖力超群的兔子们在欢乐的繁殖着，而“兔子问题”也没闲着，吸引着人们对它不断地研究，并得到了广泛应用。

 

参考

《算法设计与分析基础》
《编程之美》
斐波那契数
Fibonacci Number