趣题一则：寻找那扇门

现在出现在你面前的是一堵朝两个方向无限延伸的墙。墙上有一扇门，但你并不确定门离你有多远，也不知道门位于哪个方向（左边或是右边）。你只有在走到门面前才能看到它。假设从当前位置到门要走n步（n大小未知），那么怎样走O(n)步就能找到那扇门？

分析

这道题让人“左右为难”，因为不确定如何才能走到尽快确定方向和位置。首先想到在错误的方向上走得越远，就意味着离正确的位置越远，因此较为保险的方法是，第一步向右走，看看有没有门；第二步——为了防止在错误的方向上渐行渐远——向左走，走两步，这样就可以确定在最初位置的一步范围内有没有门了。

接下来，按照类似的方式左右徘徊，依次确定在最初位置的2，3，...，n有没有门了。不过，直觉上就会知道走了很多冤枉路，很可能不是O(n)了。下面来具体计算一下。

假设T(n)为按上述方法确定出左右各n步范围内是否有门所需要的步数，那么

T(1) = 2 + 1

T(2) = T(1) + 2*2 + 1

T(3) = T(2) + 2*3 + 1

...

T(n) = T(n-1) + 2*n + 1

两边相加，得T(n) = n^2 + 2*n，看来这个方法太慢了。

为了更好地分析慢的原因，我们从另一个角度来看上面的方法。将寻找门的过程看作一个个回合，初始位置标记为O，第一回合向右走一步，回到O，向左走一步，回到O；第二回合向右走二步，回到O，向左走二步，回到O；。。。；第n回合向右走n步，回到O，向左走n步，回到O。这样总的步数是4*(1+2+...+n)=2(n^2+n)。每个回合仅比上一回合多一步，造成的结果就是大量的重复。但如果考虑一种极端的情况，第一回合向右走n步，回到O，向左走n步，共n步，由于不知道n的大小，这算不上是一种有效的方法，但它说明，如果我们每个回合间的跨度够大，确实有可能达到O(n)。

在常见的渐进效率类型中，比多项式明显要大的是指数级，如2^n，这里先考察这种情况。即第i回合向右走2^i步，回到O，向左走2^i步，回到O，这里0<=i<=k且2^(k-1)<n<=2^k。这样经过k个回合就可以找到门的位置，总的步数是：

可以看到，这种新的回合制是符合要求的。接下来也许可以尝试更大的跨度，如3^n或n!甚至是n*n!，这里先不讨论了。

 

参考：

《算法设计与分析基础》