找零钱的两种方法

有时候，去便利店买几块钱的东西，但没有零钱，只能给他们一张100的，他们可能找给我一沓10块的和几枚硬币。我不喜欢这么多的零钱，要知道，钱越零散，散失地就越快，我希望找给我的零钱张数最少。

如何找出最少数目（钱的张数）的零钱呢？这个问题看起来很简单，假设要用50、20、10、5、1（元）找出87元来，任何人都可以简单地得出：1张50、1张20、1张10、1张5和2张1元就可以满足。可以用代码表示出来：

public static int[] MakeChange(int money, int[] changes)
{
    int[] result = new int[changes.Length];

    for (int i = 0; i < changes.Length; i++)
    {
        result[i] = money / changes[i];
        money = money % changes[i];

        if (money == 0) { break; }
    }

    return result;
}

输入money=87，changes={ 50, 20, 10, 5, 1 }，则结果为：{ 1, 1, 1, 1, 2 }。这种方法的特点是：从最大额的零钱开始，逐次凑出需要的数额来，不关心总的数目是否真的是最小。这样的算法也形象地称为“贪心算法”，而找出最少数目的零钱的问题称为“最优化问题”。在某些情况下，贪心算法未必能得到最优的解，比如恰好10元和5元没有了，只剩下50、20和1元，这时要找出60元，需要1张50和10张1元，而实际上只要3张20就可以了。如果各种零钱是充足的，则可以证明贪心算法得到的解也是最优解。

零钱的集合是 { 50, 20, 10, 5, 1 }，记为C。对于一个特定的数额n，它的最优解记为q。那么q中至多有2个20，因为如果有3个的话，可以用1张50和1张10来代替3张20；如果有2张20，则不能有10元的，否则可以用1张50来代替，同理最多有1张5和4张1，这样可以确定如果有2张20，则在q中小于50的零钱总数在40和49之间；同理如果只有1张20的，则最多有1张10、1张5和4张1，总数在20和39之间；如果没有20，则最多有1张10、1张5和4张1，总数在0和19之间。总之，在最优解中，小于50的零钱总数在0到49之间【结论1】。有了这个结论，下面来证明上述问题中，贪心算法得到的解也是最优解。

还是使用上面的标记：零钱集合C，数额n，最优解q，假设贪心算法得到的解是q’。用q50表示q中50元的个数，q’50表示q’中50元的个数，由于q’中包含尽可能多的50，所以q50<=q’50，由【结论1】，q50<q’50不可能成立，否则小于50的零钱总数大于49，所以一定有q50=q’50。同理也可以证明在q和q’中20、10、5、1的个数也是相同的。

如果各种零钱充足，现在是没问题了，如果某些零钱没有了，贪心算法未必能得到最优解，这时该如何求解呢？为简化问题，我们假设1元的钱总是充足的，所以解总是存在的。对于数额n，可做如下考虑：

1）如果n = 1，则用1个1元来找零，这就是最优解；

2）如果n > 1，则对于每个可能的值i，分别找出i元和n-i元来。

通过这样的递归，可以找出所有可能的解来，这样就可以找到最优解来了。不过该方法效率不高，因为存在大量冗余的计算，比如要找出60元，中间需要计算59，要计算59则一定需要计算58。。。而且这些计算要重复多次，这种情形称为“递归爆炸”。这里很像使用递归来求解Fibonacci数列一样，存在很大的效率问题。在优化Fibonacci数列的计算时，一种方法是将计算过的值存放在一个数组里，以供重复使用，这里也可以采用这样的思路。

public static void MakeChangeDynamically(int money, int[] changes, int[] changesUsed, int[] lastChange)
{
    changesUsed[0] = 0;
    lastChange[0] = 1;
    for (int dollars = 1; dollars <= money; dollars++)
    {
        // 至少可以全部使用1元来找零
        int minChangeCount = dollars;
        int newChange = 1;

        for (int j = 0; j < changes.Length; j++)
        {
            if (changes[j] > dollars)
            {
                continue; // 不能使用该数额来找零
            }

            // 如果使用这个数额来找所需要的数目更小
            if (changesUsed[dollars - changes[j]] + 1 < minChangeCount)
            {
                minChangeCount = changesUsed[dollars - changes[j]] + 1;
                newChange = changes[j];
            }
        }

        changesUsed[dollars] = minChangeCount;
        lastChange[dollars] = newChange;
    }
}

这个方法属于动态规划的应用。假设现在要找的数额为67，changes = { 1, 5, 10, 20, 50 }，changesUsed数组会保存从1到66之间的数值分别需要多少张零钱，在求解67的时候，会这样考虑：对于changes的每个数值，将67拆分为1+66，5+62，10+57，20+47，50+17，由于66、62、57、47、17这些值都已计算过，所以可以迅速得出对于67找零需要几张零钱；同时lastChange数组保存了从1到66之间的数值的最优解中，它们所使用的最后一张零钱是什么，这样回推过去，不但可以知道用几张零钱，还可以知道这些零钱的数额分别是什么。

虽然如此，在日常生活中找零钱的时候，两种方法都不需要，心算即可:)

参考：

《离散数学及其应用》
《数据结构与问题求解》
http://en.wikipedia.org/wiki/Greedy_algorithm
http://en.wikipedia.org/wiki/Optimization_problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_programming