1 CEF error的有限性问题
在回归中，记条件期望函数（conditional expectation function，CEF）为\(E[Y|X=x]\)，则可将因变量\(Y\)分解为
可记\(e=Y-E[Y|X=x]\)为条件期望函数误差（CEF error）。
显然，\(e\)满足\(E[e|X]=0\)，\(E[e]=0\)，这些都很容易证明。下面来看一个关于\(e\)的有限性的问题：
若对于\(r\gt 1\)有\(E[|Y|^r]\lt \infty\)，求证\(E[|e|^r]\lt \infty\)。
从直觉上说，\(e\)是用条件期望函数对\(Y\)做了解释后留下的残差，那么\(Y\)的有限性应该可以保证\(e\)的有限性。但要证明它，却比较复杂。
2 证明
首先我们利用Minkowski不等式，有
由已知条件，第一项\(\left(E\left[|Y|^r\right]\right)^{1/r}\)是有限的。
对于第二项，由于\(g(\cdot)=|\cdot|^r\)在\(r\geq 1\)时为凸函数，由Jensen不等式\(g(E[Y|X]) \leq E[g(Y)|X]\)，即有
再对两边取期望后取\(1/r\)次幂，可得
由已知条件可知，这一项也是有限的。
3 扩展
若我们关注\(r=2\)，就变成了CEF error的无条件方差\(\sigma=E[e^2]=\text{Var}[e]\)。结论重新表述如下：
若\(E[Y^2]\lt \infty\)，则\(\sigma^2\lt \infty\)。
事实上，若对于多个解释变量，则不断加入解释变量后，残差的方差必将减小，即若\(E[Y^2]\lt \infty\)，必有
为什么？
证明：先利用\(E[Y|X_1]=E[E[Y|X_1,X_2]|X_1]\)和Jensen不等式，我们可以得到
两边取期望后有
同理，利用\(E[Y]=E[E[Y|X_1]]\)和Jensen不等式，可得到\((E[Y])^2\leq E\left[\left(E[Y|X_1]\right)^2\right]\)，与上面的式子放在一起有
三个地方都同时减去\((E[Y])^2\)，可得
另一方面，我们已有\(e=Y-E[Y|X]\)，再记\(u=E[Y|X]-E[Y]\)，则\(E[eu]=0\)，因此
而\(\text{Var}[Y]\)为常数，因此，\(\text{Var}[E[Y|X]]\)越大，\(\text{Var}[Y-E[Y|X]]\)越小，即
