在应用中，经常会碰到需要对某个矩阵的行列式进行求导的情况。而行列式的计算方法比较复杂，如果将它展开成后计算，会比较麻烦，因此最好直接记住一些结论。

本文以计算\(\dfrac{\partial |A|}{\partial A}\)和\(\dfrac{\partial \ln |A|}{\partial A}\)为例，介绍如何对行列式求导，并希望大家可以记住结论。

首先，为防止大家线性代数的内容忘得差不多了，我们先以方阵\(A\)（\(n\times n\)）为例，回顾一下与行列式有关的基本概念：

  • minor（余子式，或者叫余因式）\(M\)：是一个\(n\times n\)方阵，其中元素\(M_{ij}\)就是把原方阵\(A\)去掉第\(i\)行、第\(j\)列之后再取行列式的值；
  • cofactor（代数余子式）\(C\)：\(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)；
  • adjugate（伴随矩阵）\(A^*\)：\(A^*_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ji}\)，即\(A^*=C'\)；

而方阵\(A\)行列式，就可以用某一行（比如第\(i\)行）的cofactor \(C\)的形式来表达（当然也可以用\(A^*\)）：$$|A|=\sum_{j}A_{ij}C_{ij}$$

另外，若\(A\)是非奇异矩阵，则有

\[A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}=\dfrac{C'}{|A|} \]

现在，再来看对\(|A|\)的求导。对于\(A\)的某个元素\(A_{ij}\)，将行列式写成\(A\)的第\(i\)行展开的形式，我们有

\[\dfrac{\partial |A|}{\partial A_{ij}} = \dfrac{\partial \sum_{j}A_{ij}C_{ij}}{\partial A_{ij}}=C_{ij} \]

第二个等式是因为，对于任意的\(j\)，在\(C_{ij}\)的计算中都是剔除了\(A_{ij}\)的，也即它和\(A_{ij}\)的变动没关系。

因此，我们有

\[\dfrac{\partial |A|}{\partial A} = C = (A^*)' \]

如果\(A\)非奇异，那么有

\[\dfrac{\partial |A|}{\partial A} = (|A|A^{-1})'= |A|(A^{-1})' \]

对于\(\ln |A|\)，利用链式法则，有

\[\dfrac{\partial \ln |A|}{\partial A} = \dfrac{1}{|A|} |A|(A^{-1})' = (A^{-1})' \]