在求独立的随机变量之和的分布时，可用矩母函数法。

1 矩母函数法

定理 已知\(X_1,\ldots,X_n\)为独立的随机变量，各种的矩母函数为\(M_1,\ldots,M_n\)，\(a_1,\ldots,a_n\)为常数，则\(Y=\sum_{i=1}^{n}a_i X_i\)的矩母函数为

\[M_Y(t)=\text{E}[\exp(t\sum_{i=1}^{n}a_iX_i)]=\prod_{i=1}^{n}M_i(a_i t) \]

2 案例

2.1 Bernoulli分布

\(X_1,\ldots,X_n\)为来自\(\text{Bernoulli}(p)\)分布的随机样本，则\(X_i\)的矩母函数为

\[M(t)=1-p+p e^t \]

那么\(Y=\sum_{i=1}^{n}X_i\)的矩母函数为

\[M_Y(t)=(1-p+e^t)^n \]

这正是\(\text{Binomial}(n,p)\)分布的矩母函数。

2.2 正态分布

若\(X_i\sim N(\mu_i,\sigma^2_i)\)，\(i=1,\ldots,n\)，且相互独立，正态分布的矩母函数为

\[M_X(t) = \exp(t\mu+\dfrac{1}{2}t^2 \sigma^2) \]

那么\(Y=\sum_{i=1}^{n}a_i X_i\)的矩母函数为

\[\begin{aligned} M_Y(t)=&\prod_{i=1}^{n}\exp\left(a_i\mu_i t+\dfrac{1}{2}a_i^2 \sigma_i^2 t^2\right)\\ =&\exp\left(t\sum_{i=1}^{n}a_i\mu_i+\dfrac{t^2}{2}\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sigma_i^2 \right) \end{aligned} \]

因此\(Y\sim N(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\mu_i,\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2 \sigma_i^2)\)。