生日蛋糕 (百练1190)
要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。
设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时
，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）
的面积Q最小。令Q = Sπ
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。
（除Q外，以上所有数据皆为正整数）
输入
有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，
表示蛋糕的层数为M。
输出：仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。
输入：
100
2
输出：
68
思路：
蛋糕的体积：V=Nπ=πR21H1+πR22H2+...+πR2nHn
则:N=R21H1+R22H2+...+R2nHn
其中(R1>R2>R3>...>Rn
蛋糕的表面积：Q=Sπ=πR21+2πR1H1+2πR2H2+...+2πRnHn
则:S=R21+2R1H1+2R2H2+...+2RnHn
其中(R1>R2>R3>...>Rn且H1>H2>H3>...>Hn)
当N取最大值10000时，最大半径是当h=1时，即r=100。同理，最大的h=10000
深度优先搜索，枚举什么?
枚举每一层可能的高度和半径。
如何确定搜索范围?
底层蛋糕的最大可能半径和最大可能高度
搜索顺序，哪些地方体现搜索顺序?
从底层往上搭蛋糕，而不是从顶层往下搭
剪枝1：搭建过程中发现已建好的面积已经超过目前求得的最优表面
积，或者预见到搭完后面积一定会超过目前最优表面积,则停止搭建（最优性剪枝）
剪枝2：搭建过程中预见到再往上搭，高度已经无法安排，或者半径
已经无法安排，则停止搭建(可行性剪枝）
剪枝3：搭建过程中发现还没搭的那些层的体积，一定会超过还缺的
体积，则停止搭建(可行性剪枝）
剪枝4：搭建过程中发现还没搭的那些层的体积，最大也到不了还缺
的体积，则停止搭建(可行性剪枝）
假设构建2层蛋糕，最低层为r1,h1，第二层为r2,h2，公式如下：
V=Nπ=πr1平方h1 + πr2平方h2，N=r1平方h1 + r2平方h2
同理：蛋糕表面积=蛋糕最底层蛋糕的圆面积 + 每层蛋糕的侧面积
因为每层蛋糕的顶面积刚好就是最底层蛋糕的圆面积
Q=Sπ= πr1平方 + 2πr1h1 + 2πr2h2，提取π公因子
S = r1平方 + 2r1h1 + 2r2h2
python 代码实现：
1 import math
2
3 # N-蛋糕的总体积，M-层数
4 N, M = 0, 0
5 # 最优表面积,初值为无穷大
6 minArea = float("inf")
7 # 正在搭建中的蛋糕的表面积
8 area = 0
9 # 统计循环的次数
10 num = 0
11 # 当前体积
12 currentVolume = 0
13
14 # 要用m层去凑体积v,最底层半径不能超过r,高度不能超过h
15 # 求出最小表面积放入minArea
16 def Dfs(v, m, r, h):
17 global N, M, minArea, area, num, currentVolume
18 # m=0,v=0时，说明蛋糕搭建成功，因为的递减，m=0说明不需要搭层数了
19 # 而且v=0，说明体积大小也搭建符合题目的要求了，v!=0，说明已经搭到
20 # 顶层蛋糕了，但是体积没有搭到输入N的要求，所以失败了
21 if m == 0:
22 if v == 0:
23 # 找到一个最优值与之前的最优值进行比较，如果更小则替换
24 minArea = min(minArea, area)
25 return
26 else:
27 return
28 # 做m层蛋糕，但是体积v是0或者小于0是做不到的
29 if v <= 0:
30 return
31 # 半径i从最大半径r开始依次递减1，直到m,因为如果要做m层蛋糕，
32 # 最底层的蛋糕的半径最小值为m，同理最底层蛋糕的高度最小值也为m
33 # 因为题目要求是整数，而且逐层半径、高度最小相差1
34 for i in range(r, m-1, -1):
35 # S = r1平方+各层蛋糕的侧面积
36 # 蛋糕的底面积
37 if m == M:
38 area = i * i
39 for j in range(h, m-1, -1):
40 # currentVolume表示搭好的当前蛋糕的体积
41 currentVolume = currentVolume + (i*i*j)
42 # 剪枝：如果按此半径和高度，搭好的蛋糕的体积超过输入的N，则该方案不可行
43 if currentVolume > N:
44 # 深度遍历需要回溯，之前加过这个值了，但是该条路径走不通，因此要把之前加的值减回去
45 currentVolume -= (i * i * j)
46 continue
47 area += 2 * i * j
48 # 剪枝：如果计算出正在搭建的表面积已经大于曾经计算出的最优表面积
49 # 则不需要再往下搭建了，即使能搭建出来也不是最优的表面积
50 if area > minArea:
51 # 该条路径走不通，因此要把之前加的值减回去
52 area -= 2 * i * j
53 continue
54 num += 1
55 Dfs(v-i*i*j, m-1, i-1, j-1)
56 # 走过的路重新往回走，需要把原来增加的值减回去，以保证下次新的走法走到该点时，
57 # area、currentVolume的值是与原初始化的值
58 area -= 2 * i * j
59 currentVolume -= (i * i * j)
60
61
62 def main():
63 global N, M, minArea, num
64 N, M = map(int, input().split())
65 # 这里对半径和高度都是做个初略的假设
66 # 最大半径是假设蛋糕就1层，高度是1的情况，根据公式，可以对N开根号即可得最大值
67 # 最大高度是假设蛋糕的半径是1的情况，N就是高度的最大值
68 Dfs(N, M, int(math.sqrt(N)), N)
69 if minArea == float("inf"):
70 print("%d" % 0)
71 else:
72 print("S = %d,循环次数：%d" % (minArea, num))
73
74
75 if __name__ == '__main__':
76 main()
