动态规划-0-1背包问题

0-1背包问题:有N件物品和一个容积为M的背包。第i件物品的体积w[i]，价值是d[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。每种物品只有一件，可以选择放或者不放
(N<=3500,M <= 13000)。
思路：用 F[i][j] 表示取前i种物品，使它们总体积不超过j的最优取法取得的价值总和。要求F[N][M]
就取1种物品，如果w[1]体积小于j，那么可以放入背包，价值为d[1]，
如果放不下，那么价值就是0。
边界：if (w[1] <= j)
F[1][j] = d[1];
else
F[1][j] = 0;
用 F[i][j] 表示取前i种物品，使它们总体积不超过j的最优取法取得的价值总和
递推： F[i][j] = max(F[i-1][j],F[i-1][j-w[i]]+d[i])
取或不取第 i种物品，两者选优
(j-w[i] >= 0才有第二项)
本题如用记忆型递归，需要一个很大的二维数组，会超内存。注意到这个二维数组的下一行的值，
只用到了上一行的正上方及左边的值，因此可用滚动数组的思想，只要一行即可。即可以用一维数组，
用“人人为我”递推型动归实现。
令V(i,j)表示当前背包为容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值最优解，那么就有两种可能：
1.包的容量比该商品体积小，即j < Vi，装不下第i个物品。此时背包容量为j，前i个物品的最优解
与背包容量为j，前i-1个物品最佳组合对应的最优解是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)
2.当包的容量等于或大于该商品的体积，即j >= Vi，能装下第i个物品。那无非有两种情况，
在前i个物品，背包容量为j的最优组合里有第i个物品，但同时占据了背包Wj个容量，
V(i,j) = V(i-1,j-Wi)+Vi；

通过上面的方法可以求出背包问题的最优解，但还不知道这个最优解由哪些商品组成，故要根据
最优解回溯找出解的组成，根据填表的原理可以有如下的寻解方式：
V(i,j)=V(i-1,j)时，说明没有选择第i 个商品，则回到V(i-1,j)；
V(i,j)!=V(i-1,j)时，说明装了第i个商品，该商品是最优解组成的一部分，
一定有V(i,j)=V(i-1,j-w(i))+v(i)，随后我们得回到装该商品之前，即回到V(i-1,j-w(i))；
重复1,2，一直遍历到i＝0结束为止，所有解的组成都会找到。

参考：https://blog.csdn.net/ggdhs/article/details/90648890
https://blog.csdn.net/qq_34178562/article/details/79959380

python算法实现：

# 该方法有一个弊端，比如体积是10，我们的列就从0至10去做循环，这样如果题目要求有13000这样的
# 数值，二维数组太大了，运行效率极低，甚至可能出现内存不足的情况，因此需要改进算法
def zeroOneBag1(num, capacity, weightList, valueList):
    # 二维数组初始化，行表示物品，列表示最大价值
    # valueExcel[0][j],valueExcel[i][0]边界条件都是0
    # valueExcel[0][j]表示前0种物品，那就是没有选择物品，所以最大价值是0
    # valueExcel[i][0]表示背包总容量是0，那就是什么物品都没法装入，因此价值也是0
    valueExcel = [[0 for j in range(capacity + 1)] for i in range(num + 1)]
    for i in range(1, num + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            # 不选该物品的情况下，等于同列上一行的值
            valueExcel[i][j] = valueExcel[i-1][j]
            # 背包总容量能够放当前物体，那么就需要用总容量-当前物品的体积，得到剩余的体积，
            # 那么valueExcel[i-1][j-weightList[i-1]]表示没有加入该物品，该剩余体积值下的最大价值
            # 加上该物品的价值后，那就是valueExcel[i-1][j-weightList[i-1]]+valueList[i-1]
            # 表示加入该物品后，在该体积下的最大价值，这时为了去整体的最优，就需要与不加入该物品时，
            # 那两个的价值是最大的，然后填入该二维数组内，已保证二维数组中的值都是在[i][j]下都是最优解
            if j >= weightList[i-1]:
                valueExcel[i][j] = max(valueExcel[i][j], valueExcel[i-1][j-weightList[i-1]]+valueList[i-1])

    #for x in valueExcel:
        #print(x)

    return valueExcel


# 背包价值最大化的情况下，选择了哪些物品

def show(num, capacity, weightList, valueExcel):
    print('最大价值为:', valueExcel[-1][-1])
    # 是否选择该物品的list,[False, False, False, False, False, False]
    x = [False for i in range(num)]
    j = capacity
    for i in range(num, 0, -1):
        # 如果valueExcel[i][j]大于上一行同列的值，说明选择了i行物品
        if valueExcel[i][j] > valueExcel[i - 1][j]:
            x[i - 1] = True
            j -= weightList[i - 1]
    print('背包中所装物品为:')
    for i in range(num):
        if x[i]:
            print('第', i+1, '个,', end='')

# valueExcel可以利用递推，实现只需要一维数组即可，思路如下：
# valueExcel[i][j]值替换valueExcel[i-1][j]的值，这样从而保证就一维数组即可
# 计算valueExcel[i][j]值可能需要比j小的值，也就是valueExcel[i-1][<j]，因此
# 我们递推数组的时候，必须从右边开始递推
# 利用递推后，因为没存储中间结果，因此就没法找出最大价值下选择了哪些物品
def zeroOneBag2(num, capacity, weightList, valueList):
    valueExcel = [0 for i in range(capacity + 1)]
    for i in range(1, num + 1):
        for j in range(capacity, 0, -1):
            # 背包总容量够放当前物体，遍历前一个状态考虑是否置换，这里的value[j]即为上一次最佳结果
            if j >= weightList[i-1]:
                valueExcel[j] = max(valueExcel[j-weightList[i-1]]+valueList[i-1], valueExcel[j])

    print(valueExcel)
    return valueExcel[-1]

def main():
    # 多少个物品
    num = 6
    # 背包的总容量
    capacity = 10
    # 每个物品的重量
    weightList = [2, 2, 3, 1, 5, 2]
    # 每个物品的价值
    valueList = [2, 3, 1, 5, 4, 3]
    valueExcel = zeroOneBag1(num, capacity, weightList, valueList)
    show(num, capacity, weightList, valueExcel)
    #print("物品装入背包可使价值总和最大为：%d"%maxValue)

if __name__ == '__main__':
    main()