1的补码 2的补码 1's complement

1的补码 2的补码 1's complement

     这是关于TCP头部校验和字段（checksumfield）的说明。句中的complement意思为“补码”。对于学习计算机科学的人来说，补码不算什么新鲜，现在新鲜的是这篇英语文章出现的是“1’scomplement”，翻译出来应该是“1的补码”，对于这个笔者以前也没有碰到过，到网上查吧！网上查询的结果，“1’scomplement”关键字出现的不少，但都是英文关键字，没有对应的中文翻译与解释，所以先看英语的，最后自己做解释吧。

   补码：补码是计算机中二进制数表达负数的办法，这样可以在计算机中把两个数的减法变成加法。补码形式有1的补码和2的补码，其中1的补码用在IP、TCP的校验和中；平时学生在计算机科学中学习的补码是2的补码（即正数的补码和原码相同，负数补码按原码相应的正数按位取反再加1）。

   只是平时中文教材及中文翻译的书中，对此并不多加解释，一律翻译作补码。比如《ComputerNetwork》(Andrew S. Tanenbaum)在中国的翻译版《计算机网络》（清华大学出版社）对于TCP头部的校验和是这样翻译的：

   （原文）The checksum algorithm is simply to add up all the 16-bitwords in one's complement and then to take the one's complement ofthe sum.

   （译文）校验和的算法是简单地将所有16位字以补码形式相加，然后再对相加和取补。

   仔细对比一下本文最上部笔者所碰到的句子，和刚才这个句子意思是一样的。这个没有注明是1的补码，翻译时只是以“补码”说明，也许译者并不想在这里多费口舌，因为说明1的补码实在是一个比较麻烦的事情，笔者在这里翻译时还是把“1的补码”给翻译出来了，以让大家注意这个1的补码并不是平常学的那个2的补码。

   笔者只是在此讨论翻译，不是在讨论补码。1的补码较复杂，如果有兴趣，可以上网查找RFC1071，这是TCP校验和权威的官方说明。

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关于2的补码

作者： 阮一峰

日期： 2009年8月 5日

问一个基本的问题。

负数在计算机中如何表示？

举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，那么-8怎么表示呢？

很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是10001000。

但是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采用2的补码（Two's Complement）表示负数。

什么是2的补码？

它是一种数值的转换方法，要分二步完成：

第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如，00001000的相反值就是11110111。

第二步，将上一步得到的值加1。11110111就变成11111000。

所以，00001000的2的补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。

不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？

昨天，我在一本书里又看到了这个问题，然后就花了一点时间到网上找资料，现在总算彻底搞明白了。

2的补码的好处

首先，要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数，其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种最方便的方式。

2的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。

还是以-8作为例子。

假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？

随便写一个计算式，16 + (-8) = ?

16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：

　０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
　１００１１０００

可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。

现在，再来看2的补码表示法。

　０００１００００
＋１１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００

可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

2的补码的本质

在回答2的补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。

要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。

已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：

　００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－

因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。

所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：

１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１１０００

进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：

　１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１０１１１
＋０００００００１
－－－－－－－－－
　１１１１１０００

2的补码的两个转换步骤就是这么来的。

为什么正数加法适用于2的补码？

实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成。

Y的2的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：

X + (11111111-Y) + 1

我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1

接下来，分成两种情况讨论。

第一种情况，如果X小于Y，那么Z是一个负数。这时，我们就对Z采用2的补码的逆运算，求出它对应的正数绝对值，再在前面加上负号就行了。所以，

Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y

第二种情况，如果X大于Y，这意味着Z肯定大于11111111，但是我们规定了这是8位机，最高的第9位是溢出位，必须被舍去，这相当于减去100000000。所以，

Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y

这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。