原码、反码、补码--计算机中为什么使用补码

原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。
补码是现代计算机使用的编码格式，解决了反码的两个缺点。正数的补码与原码格式相同，负数的补码是将负数绝对值的原码分别按位取反，并加1，

 

目录

知识梳理：原码、反码、补码的基础概念
问题一：.为什么有补码?
问题二：.补码中将减法转化为加法后面的数学原理。
问题三： 为什么补码的表示范围比原码的表示范围大一位？
问题四：为什么1000 0000表示 -128？
问题五：为什么在计算补码的时候要取反?还要加一？

原码、反码、补码的基础概念

原码：
定义：就是一种计算机中对数字的二进制定点表示方法。它的表示方法就是最高位表示符号位，1代表负，0代表正。
比如：1（原码）= 0000 0001
-1（原码）= 1000 0001
反码：
定义：正数的反码等于它本身；
负数的反码就是负数的原码在符号位不变的基础上，其余各个位取反；
+1 = 0000 0001（原）= 0000 0001（反）
-1 = 1000 0001（原）= 1111 1110 （反）
补码：
定义：正数的补码是它本身；
负数的补码是它的反码再+1；
+1 = 0000 0001（原）= 0000 0001（反）= 0000 0001（补）
-1 = 1000 0001（原）= 1111 1110 （反）= 1111 1111（补）
负数在计算机里面的储存方式一般都是以补码的形式存在的。

问题与思考

问题一：.为什么有补码?
其实就像数学中的四则运算一样，你可以把补码看成是用加法代替减法，比如你现在减去一个数，其实你就是加上这个数字的相反数，也就是说+（-数字），这样的话，在计算机中，就可以用加法表示减法了，一个数字和他的相反数相加的话，那么就是等于零。这就好比如，一个时钟，现在是6点钟整，你要让它去到8点钟整，你的做法就有顺时针拨 2 小时，或者逆时针拨 10 个小时，所以说使用补码可以将减法简化为加法，但是具体是怎么简化的呢？

问题二：.补码中将减法转化为加法后面的数学原理。
首先，我们来了解一下模的概念，“模”是指一个计量系统的计数范围，比如时钟的模就是12，如果超过12，那么就会溢出，导致进位，这里我们不先不讨论进位，13在12进制里面溢出了1个12单位，也就是从0时拨13个小时，时针会回到1时。为此我们记作 13 mod 12 = 1,
mod是指取模操作, 13 mod 12 = 1 即用13除以12后的余数是1.
所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!
现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.

首先介绍一个数学中相关的概念: 同余
取两个整数，a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余。
记作 a ≡ b (mod m)
读作 a 与 b 关于模m同余。

例子：
1.正数：
5 mod 12 = 5
17 mod 12 = 5
29 mod 12 = 5
2.负数：
这里介绍 m = k * n + r (0<r < n) , m是被除数，n是除数，r是余数。
比如：-3 / 2 余数为多少?
-3 = 2 x -2 +1 可得，余数为 1 。

介绍完如何同余定理后，我们回到用加法代替减法的原理上面。

前拨两个小时 = 回拨 10 小时
前拨三个小时 = 回拨 9 小时
前拨四个小时 = 回拨 8 小时

同样的在数学上面

2 mod 12 = 2
10 mod 12 = 2

2和10是同余的，下面引用同余定理的线性运算定理，
如果：
a = b (mod m ) , c = d (mod m)
(1) a ± c = (b ± d ) (mod 12)
(2 ) a x c = (b x d ) (mod 12)
定理证明过程:https://baike.baidu.com/item/%E5%90%8C%E4%BD%99%E5%AE%9A%E7%90%86/1212360?fr=aladdin
现在有：
-2 ≡ 10 (mod 12 ) = 10
7 ≡ 7 (mod 12)
运用线性运算定理：
7-2 ≡ 7 + 10 (mod) = 5,这里我们就将减法转化为加法了。

问题三： 为什么补码的表示范围比原码的表示范围大一位？
从百度上搜索到的这张图，可以明显的看到，补码的表示范围比原码多了一位，而且是为负数（就是-2^n）。
从图中可以看到，原码之中有两个0的表示方法，一个是+0，另一个是-0，但是到了补码里面，0的表示方法只有一个，也就是说补码取消掉了一个零的表示方式，零的表示方式（1000 0000）也就交给了负数。
问题四：为什么1000 0000表示 -128？
根据问题二还有问题三，我们可以了解到，同余定理还有补码的表示范围比原码还要多出一位，多出来的一位给我了负数，由于原码1000 0000表示128，128和-128 关于模256同余，所以-128和128没有区别，但是在补码里面，符号位1表示负数，所以这里1000 0000表示-128.

问题五：为什么在计算补码的时候要取反?还要加一？

让我们来想想前面说的补码的作用，就是将减法转化为加法，在数学上面就是转化为他的相反数？一个数本身加上相反数会等于多少呢?没错就是0，那么同样的，原码加上他的补码还是会等于0的，比如 0000 0001（1） + 1111 1111(-1) = 0000 0000（0），那么我们就有这一道等式，
对于一个数，补码 + 原码 = 0，补码 = 0 - 原码。
对于0 = 我们上面几行文字说， 0000 0001（1） + 1111 1111(-1) = 0，那么就可以将这一道式子进行等价代换：
对于一个数：补码 = 1111 1111 + 0000 0001 - 原码。
移项后有： 补码 = 1111 1111 - 原码 +0000 0001
对于 1111 1111 - 原码 = ？大家可以自己算算，结果其实是这个数的反码，（反码就是全部取反）
例如：
对于1： 1111 1111 - 0000 0001 = 1111 1110
对于2： 1111 1111 - 0000 0010 = 1111 1101
…
大家可以自行运算，这就是反码的由来，
补码 = 1111 1111 - 原码 +0000 0001
根据公式，可以写成:
补码 = 反码 (1111 1111 - 原码 )+0000 0001
这就是表示补码的时候，反码还要 + 1 .