傅里叶变换总结

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首先从周期函数的傅里叶级数讲起。

任何周期函数 $f(x)=f(x+2\pi)$ 都可以写成三角函数和的形式：

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n\cos nx+b_n\sin nx)}\qquad(1)\\$

也就是说任何一个周期为 $2\pi$ 的函数都可以展开成周期为 $\frac{2\pi}{n},n=1,2,3,\dots$ 的三角函数之和。

$\color{red}{\text{难点一}}$ ：利用三角函数和差化积的公式，公式 $(1)$ 和下面的公式是等价的:

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{A_n\sin(nx+\varphi_n)}\qquad(2)\\$

带相位的公式在直觉上更加直观，特别是配上教科书中矩形波展开成三角函数的图片。但是将相位转换为正弦和余弦函数的系数在计算上却变得简便，

因为三角函数系 $1,\sin x,\cos x,\sin2x,\cos2x,\dots$ 是正交的，利用这个性质，系数就可以通过求内积的方法得到

（函数正交和内积的概念可以将傅里叶级数和矢量的分解联系起来）：

$\begin{aligned} a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx{\rm d}x\\ b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx{\rm d}x \end{aligned}\qquad(3)\\$

数学上还需要一些定理增加严谨性：狄利克雷收敛定理，但是大多数情况下我们只需要愉快的直接使用就可以了。对于有限区间上的函数，

可以使用延拓的方法，非常好理解。

$\color{red}{\text{难点二}}$ ：但是如果这个函数在整个数轴上都是非周期的呢？其实这种情况对应频率的连续分布。此时从傅里叶级数表示变成了傅里叶积分表示，也就是说：周期函数和有限区间上的函数是级数表示；无穷区间上的非周期函数是积分表示。

$f(x)=\int_{0}^{\infty}[A(\lambda)\cos{\lambda x}+B(\lambda)\sin{\lambda x}]d\lambda\qquad(4)\\$

其中系数为：

$\begin{aligned} A(\lambda)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{\lambda t}dt\\ B(\lambda)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin{\lambda t}dt\\ \end{aligned}\qquad(5)\\$

上面的叫做傅里叶积分，别和傅里叶变换混淆了。（4）式的推导可以查教科书，形式上只需要将（1）式中的求和变为积分即可 $\sum\rightarrow\int {\rm d}x$ 。

同样需要一些数学上严谨性的保证：这边的函数 $f$ ，要求是绝对可积的。（有时候拿到一个周期函数要求它的傅里叶系数，就想当然的带入上面的公式，这是错误的。

首先周期函数一般不是绝对可积的，其次周期函数使用正交的三角函数系展开。）

$\color{red}{\text{难点三}}$ ：为什么傅里叶变换带有虚数，且出现了负频率？

前面都是实数的形式，相对来说在脑海中可以构建出数轴的模型，但是最终傅里叶变换中突然就引入了虚数，这就是难理解的拐点之一，也就是凭什么要多此一举呢？因为我们真实世界中的信号实函数就可以描述了，我们测量的所有物理量也是实数，我们对于实数有着天生的直觉，但是对于复数大多人其实怀有畏惧的心理。

其实虚数在这里出现的原因出奇的简单，可以用下面这个图片说明：

你可以想象，如果数字用右边的那一列表示，那么进行数字的竖式运算，以及加减乘除会多么的麻烦。强如拉马努金，

可能也很难通过右边原始的数学符号，猜出那些神奇的等式吧。

傅里叶变换的复数形式为：

$f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}F(\lambda)e^{-i\lambda x}d\lambda\qquad(6)\\$

其中： $F(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\lambda t}dt\qquad(7)\\$

其实公式(6)(7)和公式(4)(5)之间是通过欧拉公式联系起来的。

欧拉公式： $e^{i\lambda x}=\cos \lambda x+i\sin\lambda x\qquad(8)\\$

由欧拉公式可得： $\begin{aligned} \cos \lambda x=\frac{e^{i\lambda x}+e^{-i\lambda x}}{2}\\ \sin \lambda x=\frac{e^{i\lambda x}-e^{-i\lambda x}}{2i}\\ \end{aligned}\qquad(9)\\$

这个叫做傅里叶变换的公式： $F(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\lambda x}dt$ ,实际上代替了傅里叶积分表示中的 $A(\lambda),B(\lambda)$ ，而 $e^{-i\lambda x}$ 则代替了 $\cos{\lambda x},\sin{\lambda x}$ 。

当然这里如果说得明白一点就可以自然理解负频率出现的意义了，因为在傅里叶积分中，我们对频率的积分是从零到无穷大，但是因为我们的正交函数系是三角函数系，

频率都是正的，但是这里我们的基函数是 $e^{-i\lambda x}$ ，而由欧拉公式 $\cos{x}=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$ ,所以对三角函数在正实轴的积分其实就是对 $e^{-i\lambda x}$ 在整个数轴上的积分，

仅此而已。所以说实数函数的能谱一定是正负频率对称的。

所以虚数的引入并没有改变傅里叶积分的意义，这里我觉得：

形式上简化了，处理起来简单了，理解上困难了，这就是复数在这里的作用。我们大多数所说的能谱(功率谱)，实际上就是不关心傅里叶变换中的相位部分，

只关心某种频率成分的比重，这时候其实对应的就是傅里叶变换F的模。而复数的幅角实际上就是不同频率成分的相位信息。

以上就是从傅里叶级数——傅里叶积分——傅里叶变换，三者之间的联系。但是我们实际测量一个连续的物理信号的时候，得到的其实都是这个实际物理信号在特定时间间隔的采样，

其次计算机在进行傅里叶分析的时候，每次积分只能得到某个频率成分的比重，计算的频率点增多，随之的计算量也变得很大。于是就有了快速傅里叶变换FFT，

当然离散傅里叶变换DFT和FFT是两个不同的概念，FFT是DFT的快速算法，对采样点有限制。这里我们就讲FFT。

原来FFT的具体实现，目前自己居然从未接触过，只是在计算软件中给出具体的实现函数。FFT的具体推导过程可以在“信号与系统”的参考书中找到。

最后就是广义傅里叶变换了，这在偏微分方程教材中有，但是如何和前面的理解有机的结合在一起，形成一个系统的知识体系，这是一个问题。

难点四：在广义傅里叶变换下，原先的一些周期函数诸如 $\sin{a\cdot x}$ 函数也可以进行广义傅里叶变换，变成 $\delta$ 函数。

在前面已经指出，对于周期函数没有傅里叶变换，一般可以展开成傅里叶级数，系数可以表示成一个周期内的积分。但是在广义傅里叶变换中，傅里叶变换可以表示成频域中的 $\delta$ 函数。

广义函数的定义：函数空间到实数（或复数）空间的映射。

一般可以写成这样的形式：

$<f(x),\varphi(x)>=\int_{\Omega}^{}f(x)\varphi(x)dx,\forall\varphi(x)\in M(\Omega)$

这样 $f(x)$ 就是一个广义函数，典型的广义函数就是 $\delta$ 函数，将一个函数映射为在原点的取值。一些周期函数在这样的定义下也是广义函数，这要适当选取函数空间 $M(\Omega)$ 可以

保证定义中右边的积分是收敛的。如果函数空间 $M(\Omega)$ 中的函数都可以进行傅里叶变换，那么变换后仍然可以构成一个函数空间，那么就可以把广义函数的傅里叶变换转

移到实验函数的傅里叶变换，也就是说：

$<F[f(x)],\varphi(x)>\equiv<f(x),F[\varphi(x)]>$

可以给出以下关系的不严格的证明：

$\delta(x)\Rightarrow1$

$F(\lambda)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\lambda x}dt$

只需将f(t)换成delta函数，并根据delta函数的性质，就可以得到delta函数的傅里叶变换，当然这里并没有用到广义函数的傅里叶变换的定义，所以这样的证明当然是不严格的。

这样一个简单的关系，配合广义傅里叶变换的时移，频移，伸缩，求导等性质，可以得到很多常见函数的广义傅里叶变换。

思考：一个函数如果存在傅里叶变换，那么它的广义傅里叶变换和傅里叶变换是否一样？

posted on 2020-09-16 20:23 皮皮祥阅读(1378) 评论(0) 编辑收藏举报

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