分治与动态规划笔记

1.分治算法框架：

分治法的一般递归算法设计模式如下：

         Divide-and-Conquer(int  n)   //n为问题规模

  {

            if (n≤n0)//n0为可解子问题的规模

               {   解子问题；

                    return(子问题的解)；

                        }

              for (i=1 ;i<=k;i++)       //分解为较小子问题p1,p2,…pk
     yi=Divide-and-Conquer(|Pi|);                 //递归解决Pi
     T =MERGE(y1,y2,...,yk);                          //合并子问题         

    return(T);

    }

  ­­­­­_{­­­分治法的基本步骤在每一层递归上都有三个步骤：}

_{1)分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；}

_{2)解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则再继续分解为更小的子问题，直到容易解决；}

_{3)合并：将已求解的各个子问题的解，逐步合并为原问题的解}

_{2.动态规划：}

_{动态规划求最优值-是枚举，不是递推。}

_{序列可以不连续，子段连续。}

_{动态规划算法的一般模式：}

_{1.划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。（在划分阶段时，注意有序或可排序）}

_{2.确定状态和状态变量：将问题发展到各个阶段时所处的各种情况用不同状态表示出来；}

_{3.确定决策并写出状态转移方程：一般是根据相邻两个阶段各状态之间的关系来确定决策；}

_{4.寻找终止条件：给出的状态转移方程是一个递推式，必须有一个递推的终止条件；}

_{5.编写程序。}

3.例题

_{最大字段和问题：}

_{int max_sum3(int n, int a[ ])}

_{{      int sum=0,this_sum=0;}

       _{for(int i=1;i<=n;i++)}

_{

    _{if (this_sum>0)}  

 _{this_sum+=a[i];  //如果第i阶段得到前i个数字的最大子段和大于0则加上a[i]}

  _else

       _{this_sum=a[i];//若小于0则从a[i]重新开始计算}

        _{if (this_sum>sum)}

         _{sum=this_sum;//如果如果第i阶段得到前i个数字的最大子段和大于最大字段和，则this_sum赋值给sum，若小于则sum[i]=sum[i-1]}

              _}

    _{return sum;}

_}

_{最长公共子序列：}

*二维数组f[i,j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度

_{void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN])
 {
     int i, j;
     
     for(i = 0; i <= m; i++)
         c[i][0] = 0;//} X 的 i 位和 Y 的 0位之前的最长公共子序列的长度初始值为0
     _{for(j = 1; j <= n; j++)
         c[0][j] = 0;//} X 的 0 位和 Y 的 i位之前的最长公共子序列的长度初始值为0
     _{for(i = 1; i<= m; i++)
         for(j = 1; j <= n; j++)
            if(x[i-1] == y[j-1])   //依次比较x[i],y[j]，如果相等就在前i-1/j-1项的基础上加1}  

      _{{
                 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
              }
             else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])  //如果x[i]y[j]不相等再取c[i-1][j]与c[i][j-1]中的最大者赋给c[i][j]}    

     _{{
                           c[i][j] = c[i-1][j];
                    else
                              c[i][j] = c[i][j-1];
             }
     }}  

 

_{石子合并问题：}

左右分成两堆

左边最小得分+右边最小得分+石子数总和（最后合起来）

_{机器分配问题：} 

_{f(i,j) =Max{f[i-1，k] + a[i，j-k]}//前i-1个公司分配到k件机器的最大效益+第i个公司分配到j-k件机器的效益，  然后求各种情况的最大值}

_{(1<=i<=N,1<=j<=M,0<=k<=j )}