[图像]摄像机标定(1) 标定中的四个坐标系

摄像机的标定得先从坐标系谈起。

=> 1.预备知识
=> 1.1.平面旋转
首先看一下平面坐标系之间的转换。

两个平面坐标系 Oxy 和 Ox'y' 之间的夹角是 a 。如下图所示：

 

 

 

顺时针旋转 (Oxy -> Ox'y') ，变换关系如下：

 

 

 

公式(1) 和 公式(2) 等价。注意坐标顺序，下面论证会用到。

=> 1.2.三维旋转
=> 1.2.1.基元旋转
基元旋转，坐标系绕它的一个轴旋转：

1. 绕 Ox 轴顺时针旋转(右手定则)，但是坐标排列次序相反使用上述 公式(2) 。

 

 

 

2. 绕 Oy 轴顺时针旋转(右手定则)，坐标排列次序使用上述 公式(1) 。

 

 

 

3. 绕 Oz 轴顺时针旋转(右手定则)，但是坐标排列次序相反使用上述 公式(2) 。

 

 

 

=> 1.2.2.点在不同三维坐标系下的转换(坐标系之间没有平移)
有了基元旋转的基础，如果一个点在两个坐标系之中，而且两个坐标系共用一个原点，这样空间点在两个坐标系之间转换存在一个旋转矩阵R 。

假如两个坐标轴之间的变换关系为，坐标系1 先绕 Oz 轴旋转， 再绕 Oy 轴旋转， 最后绕 Ox 轴旋转，最终得到了坐标系2，则 旋转矩阵R 为这三个 基元旋转矩阵 依次 左乘 。

 

 

 

 

 

 

=> 1.2.3.点在不同三维坐标系下的转换(坐标系可能存在平移)
如果两个坐标系之间不共 原点 ，就是说明这两个坐标系之间除了 旋转向量，还存在 平移向量 。

 

 

 

相对于 公式(6) , 公式(7) 运用了齐次坐标，这样公式看起来更加规整，计算起来更加方便，网友说可以参考可参见“周兴和版的《高等几何》—1.3拓广平面上的齐次坐标” ，有机会了可以拜读一下。

=> 2.四个坐标系
在视觉测量中，需要进行的一个重要预备工作是定义四个坐标系的意义，即 摄像机坐标系 、 图像物理坐标系 、 像素坐标系 和 世界坐标系（参考坐标系） 。

=> 2.1.图像物理坐标系(x,y) 到 像素坐标系(u,v)
1. 最简单的情况 (两坐标轴都为直角坐标系)

 

 

 

图像上的每点坐标 (u,v) 分别表示每一帧采集的图像在系统中的存储的数组的列数与行数，坐标 (u,v) 所对应的值就是该点的灰度信息，因此坐标系 uOv 又称为 像素坐标系。

同时，为了建立图像中各点的像素与实际的物理尺寸的联系，我们还要建立 图像物理坐标系 xO1y 。设点 O1 在图像像素坐标系中记为 (u0,v0) ，每个像素沿 x 轴的实际物理尺寸大小是 dx，沿 y 轴的实际物理尺寸大小是dy ，单位值毫米，则能得到两个坐标系间的关系式 。

2. 一般情况 (两坐标轴有一个轴平行，一个轴不平行)

 

 

 

为了方便以后公式的推导，将公式写为：

 

 

 

=> 2.2.图像物理坐标系(x,y) 到 摄像机坐标系(Xc,Yc,Zc)

初中的 三角形相似 问题可以解决。

 

 

 

=> 2.3.摄像机坐标系(Xc,Yc,Zc) 到 世界坐标系(Xw,Yw,Yw)

 

 

=> 2.4.合并公式 + 总结
将公式合并后，如下所示：

 

 

综上所述，大家可以看出四个坐标系之间存在着下述关系 ( 矩阵依次左乘 )

 

 

 

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