201312-4 有趣的数

思路

考虑有趣数的最高位的数字，0不能在首位，1不能出现在0前，3不能出现在2前，则最高位数字一定为2。

考虑在低位增加数字构造N位有趣数：

• 若数字前缀只包含2
  - 向后附加0，前缀包含0，2
  - 向后无法附加1，因0要在1前
  - 向后附加2，前缀包含2
  - 向后附加3，前缀包含2，3
• 若数字前缀包含0，2
  - 向后附加0，前缀包含0，2
  - 向后附加1，前缀包含0，1，2
  - 向后附加2，前缀包含0，2
  - 向后附加3，前缀包含0，2，3
• 若数字前缀包含2，3
  - 向后附加0，前缀包含0，2，3
  - 向后无法附加1，因0要在1前
  - 向后无法附加2，因前缀已包含3
  - 向后附加3，前缀包含2，3
• 若数字前缀包含0，1，2
  - 向后无法附加0，因前缀已包含1
  - 向后附加1，前缀包含0，1，2
  - 向后附加2，前缀包含0，2
  - 向后附加3，前缀包含0，1，2，3
• 若数字前缀包含0，2，3
  - 向后附加0，前缀包含0，2，3
  - 向后附加1，前缀包含0，1，2，3
  - 向后无法附加2，因前缀已包含3
  - 向后附加3，前缀包含0，2，3
• 若数字前缀包含0，1，2，3
  - 向后无法附加0，因前缀已包含1
  - 向后附加1，前缀包含0，1，2，3
  - 向后无法附加2，因前缀已包含3
  - 向后附加3，前缀包含0，1，2，3

问题需要求解N位数中有趣数的个数，则由上述的状态转移关系可以计算N位有趣数的个数。

例如：

• 包含012的N-1位数字，可以附加3构成N位有趣数
• 包含023的N-1位数字，可以附加1成N位有趣数
• 包含0123的N-1位数字，可以附加1，3构成N位有趣数

则状态转移过程中K位数的数量计算式为：
K位数的数量 = \(\sum\) 可以附加1位数变为符合要求的K-1位数 * 附加数字情况的数量

实现

#include <iostream>

#define MAXN 1000000007

using namespace std;

int main() {
	int N;
	cin >> N;
	
	long long s2 = 1, s02 = 0, s23 = 0, 
		s023 = 0, s012 = 0, s0123 = 0;	
	int i;
	
	for (i = 1;i < N;++i) {
		s0123 = (s0123 * 2 + s023 + s012) % MAXN;
		s012  = (s012 * 2 + s02) % MAXN;
		s023  = (s023 * 2 + s23 + s02) % MAXN;
		s23   = (s23 + s2) % MAXN;
		s02   = (s02 * 2 + s2) % MAXN; 
	}

	cout << s0123;
}

参考

meelo